Wyróżnik wielomianu

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne^[1].

Niech ${\displaystyle K}$ będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś ${\displaystyle p}$ wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała ${\displaystyle K,}$ co zapisujemy ${\displaystyle p\in K[x].}$ Symbol ${\displaystyle K[x]}$ oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z ${\displaystyle K.}$

Wyróżnik wielomianu stopnia ${\displaystyle n\geqslant 1}$

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0},}$

to element ciała ${\displaystyle K}$ (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)

${\displaystyle D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n-k-2}R(p,p'),\quad {}}$ gdy ${\displaystyle p'\neq 0}$

i ${\displaystyle {}\ \ \ D(p)=0,\quad {}}$ gdy ${\displaystyle p'=0,}$

gdzie ${\displaystyle R(p,p')}$ to rugownik wielomianu ${\displaystyle p}$ i jego pochodnej ${\displaystyle p',}$ zaś ${\displaystyle k}$ jest stopniem pochodnej ${\displaystyle p'.}$

Jeżeli ${\displaystyle p'=0,}$ to wielomian ${\displaystyle p}$ ma pierwiastki wielokrotne^[a], i stąd postać drugiej części definicji.

Jeżeli stopień ${\displaystyle n}$ wielomianu ${\displaystyle p}$ nie jest wielokrotnością charakterystyki ${\displaystyle \chi (K)}$ ciała (na przykład gdy ${\displaystyle \chi (K)=0}$), to ${\displaystyle k=n-1,}$ a wyrażenie ${\displaystyle a_{n}^{n-k-2}R(p,p')}$ przyjmuje postać ${\displaystyle a_{n}^{-1}R(p,p'),}$ a jeżeli jest wielokrotnością i ${\displaystyle p'\neq 0,}$ to ${\displaystyle k<n-1.}$

W pierwszym przypadku rugownik ${\displaystyle R(p,p')}$ jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia ${\displaystyle 2n-1{:}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&\ldots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&0&\ldots &0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\ldots &1a_{1}\end{matrix}}\right].}$

Gdy oznaczymy przez ${\displaystyle P\subset K[x]}$ zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją ${\displaystyle D\colon P\to K,}$ a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.

Oznaczmy powyższą macierz przez ${\displaystyle M_{n}.}$ Ma ona zawsze stopień ${\displaystyle 2n-1}$ (niezależnie od tego czy ${\displaystyle k<n-1}$) i zachodzi związek ${\displaystyle \det M_{n}=a_{n}^{n-k-1}R(p,p'),}$ więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

${\displaystyle D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}.}$

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji^[2] ${\displaystyle \Delta _{n}\colon K^{n+1}\to K}$ określonych tym samym wzorem co wyróżnik.

${\displaystyle \Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

W macierzy ${\displaystyle M_{n}}$ najwyższy współczynnik ${\displaystyle a_{n}}$ jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja ${\displaystyle \Delta _{n}}$ jest wielomianem ${\displaystyle n+1}$ zmiennych.

Niech ${\displaystyle P_{n}\subset P}$ będzie zbiorem wielomianów stopnia ${\displaystyle n}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1,}$ zaś ${\displaystyle \lambda _{n}\colon P_{n}\to K^{n+1}}$ funkcją przyporządkowującą wielomianowi ${\displaystyle p}$ jego współczynniki ${\displaystyle (a_{n},\dots ,a_{0}).}$ Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to ${\displaystyle \lambda _{n}}$ jest injekcją. Wobec oczywistej równości

${\displaystyle D|P_{n}=\Delta _{n}\circ \lambda _{n},}$

funkcję ${\displaystyle \Delta _{n}}$ również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).

Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na ${\displaystyle \Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0}),}$ oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej ${\displaystyle p',}$ choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.

W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera ${\displaystyle \Delta }$ bez indeksu oznacza wartość funkcji ${\displaystyle \Delta _{2}}$ (lub ${\displaystyle \Delta _{3}}$) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.

Wielomian ${\displaystyle p}$ stopnia ${\displaystyle n}$ ma dokładnie ${\displaystyle n}$ pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż ${\displaystyle K}$).

Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},}$ a wtedy ${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n}).}$

Kwadrat wyznacznika Vandermonda ${\displaystyle V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

${\displaystyle V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}$

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek

${\displaystyle R(p,p')=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n+k}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ i ${\displaystyle k\geqslant 0,}$

gdzie ${\displaystyle k}$ jest stopniem pochodnej ${\displaystyle p'.}$

Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}$

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.

Gdy ${\displaystyle n=1,}$ to nie istnieje żadna para wskaźników z ${\displaystyle i<j}$ (iloczyn po zbiorze pustym), więc ${\displaystyle D(p)=a_{1}^{0}\cdot 1=1}$ w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian ${\displaystyle f\in \mathbb {R} [x]}$ ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to ${\displaystyle D(f)\geqslant 0.}$

Wyróżnik wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia ${\displaystyle 2n-1.}$ Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej ${\displaystyle A_{n}}$ stopnia ${\displaystyle n,}$ aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy ${\displaystyle A_{n}.}$

Oznaczmy przez ${\displaystyle I_{n}}$ macierz jednostkową stopnia ${\displaystyle n.}$ Definiujemy macierze ${\displaystyle J_{n,k}}$ stopnia ${\displaystyle n}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ i ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n.}$ Gdy oznaczymy współrzędne macierzy ${\displaystyle J_{n,k}}$ przez ${\displaystyle c_{i,j},}$ to ${\displaystyle c_{n-i,k+i}=1}$ dla ${\displaystyle i=0,\dots ,n-k,}$ zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady ${\displaystyle J_{1,1}=\left[{\begin{smallmatrix}1\end{smallmatrix}}\right]=I_{1},\quad J_{2,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{2,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad {}}$ ${\displaystyle J_{4,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{4,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right].}$

Wszystkie macierze ${\displaystyle J_{n,k}}$ są symetryczne.

W tym podrozdziale wielomiany stopnia ${\displaystyle n}$ będziemy zapisywali w postaci

${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_{n},}$   gdzie ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$

Definiujemy macierze ${\displaystyle B_{n}}$ zależne od współczynników wielomianu stopnia ${\displaystyle n.}$

${\displaystyle B_{n}=a_{n}\sum _{k=0}^{n-2}(n-k)a_{k}J_{n,k+2}}$   dla ${\displaystyle n\geqslant 2.}$

Przykłady

${\displaystyle B_{2}=a_{2}\sum _{k=0}^{0}(2-k)a_{k}J_{2,k+2}=a_{2}(2a_{0}J_{2,2})=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{3}=a_{3}\sum _{k=0}^{1}(3-k)a_{k}J_{3,k+2}=a_{3}(3a_{0}J_{3,2}+2a_{1}J_{3,3})=a_{3}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3a_{0}\\0&3a_{0}&2a_{1}\end{bmatrix}}.}$

Macierze ${\displaystyle A_{n},}$ których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ zdefiniowane są rekursyjnie. Niech ${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}.}$ Jeżeli już określona jest macierz ${\displaystyle A_{n-1},}$ to ${\displaystyle A_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }-B_{n},}$ gdzie

${\displaystyle L_{n}=\left[{\begin{array}{cccc|c}&&&&-1\\&I_{n-1}&&&0\\&&&&\vdots \\&&&&0\\\hline a_{n-1}&0&\dots &0&0\end{array}}\right],\quad A_{n}^{'}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&0\\&A_{n-1}&&\vdots \\&&&0\\\hline 0&\dots &0&1\end{array}}\right],}$

a ${\displaystyle B_{n}}$ jest macierzą stopnia ${\displaystyle n}$ jak wyżej.

Macierz ${\displaystyle A_{n-1}}$ (i podobnie ${\displaystyle I_{n-1}}$) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze ${\displaystyle A_{n}}$ są symetryczne.

Dowód: Dla ${\displaystyle n=1}$ jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz ${\displaystyle A_{n-1}}$ jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy ${\displaystyle A_{n}^{'}}$ wynika, że ${\displaystyle A_{n}^{'}}$ jest symetryczna, czyli ${\displaystyle A_{n}^{'\operatorname {T} }=A_{n}^{'}.}$

Sprawdźmy, że macierz ${\displaystyle C_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }}$ jest symetryczna.

${\displaystyle C_{n}^{\operatorname {T} }=(L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }=(L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }A_{n}^{'\operatorname {T} }L_{n}^{\operatorname {T} }=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }=C_{n}.}$

Macierz ${\displaystyle B_{n}}$ jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych ${\displaystyle J_{n,k}}$ z pewnymi współczynnikami. Zatem ${\displaystyle A_{n},}$ jako różnica ${\displaystyle C_{n}-B_{n}}$ macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},}$   ${\displaystyle A_{2}=L_{2}A_{2}^{'}L_{2}^{\operatorname {T} }-B_{2},}$

gdzie ${\displaystyle A_{2}^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I_{2},\quad L_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}},\quad B_{2}=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}.}$

Stąd ${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}}I_{2}{\begin{bmatrix}1&a_{1}\\-1&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&a_{1}\\a_{1}&a_{1}^{2}-2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}.}$

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu ${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{2}+a_{1}x+a_{2},}$ przyjmując ${\displaystyle a_{0}=a,\ a_{1}=b,\ a_{2}=c,\dots }$ itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy ${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}2&b\\b&b^{2}-2ac\end{bmatrix}}}$

i możemy wyliczyć macierz ${\displaystyle A_{3}=L_{3}A_{3}^{'}L_{3}^{\operatorname {T} }-B_{3}.}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\c&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&b&0\\b&b^{2}-2ac&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3ad\\0&3ad&2bd\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&b&2c\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd\end{bmatrix}}.}$

Licząc w ten sposób dalej, dostajemy

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}4&b&2c&3d\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be\\3d&bd-4ae&2cd-3be&3d^{2}-2ce\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle A_{5}={\begin{bmatrix}5&b&2c&3d&4e\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae&be-5af\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be-5af&2ce-4bf\\3d&bd-4ae&2cd-3be-5af&3d^{2}-2ce-4bf&3de-3cf\\4e&be-5af&2ce-4bf&3de-3cf&4e^{2}-2df\end{bmatrix}}.}$

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

${\displaystyle \Delta _{1}(a,b)=\det A_{1},\quad \Delta _{2}(a,b,c)=\det A_{2},\;\dots \;,\;\Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=\det A_{5}.}$

Wyróżnik wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ jest wielomianem jednorodnym stopnia ${\displaystyle 2n-2}$ zależnym od ${\displaystyle n+1}$ zmiennych – współczynników wielomianu.

Dla dwóch wielomianów ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ spełniających ${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))\geqslant 1}$ (jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia ${\displaystyle n.}$ Zwykle oznacza się ją ${\displaystyle B_{n}(f,g).}$ Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.

1. Współrzędne macierzy Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$ zależą od współczynników wielomianów ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała ${\displaystyle K.}$

2. Macierz ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$ jest symetryczna.

3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.

W szczególnym przypadku, gdy ${\displaystyle g=f',}$ (${\displaystyle g}$ jest pochodną wielomianu ${\displaystyle f}$), macierz Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f,f')}$ oznacza się przez ${\displaystyle B_{n}(f).}$ W myśl powyższych określeń stopień macierzy ${\displaystyle n=\deg(f),}$ więc wielomian ${\displaystyle f}$ musi być dodatniego stopnia.

Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f).}$

Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla ${\displaystyle n=1}$ wielomian miał postać ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ dla ${\displaystyle n=2}$ postać ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$ i podobnie dla wyższych stopni.

Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące: ${\displaystyle B_{1}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{2}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}b^{2}-2ac&ab\\ab&2a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{3}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}c^{2}-2bd&bc-3ad&ac\\bc-3ad&2b^{2}-2ac&2ab\\ac&2ab&3a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{4}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}d^{2}-2ce&cd-3be&bd-4ae&ad\\cd-3be&2c^{2}-2bd-4ae&2bc-3ad&2ac\\bd-4ae&2bc-3ad&3b^{2}-2ac&3ab\\ad&2ac&3ab&4a^{2}\end{smallmatrix}}\right].}$

Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy ${\displaystyle B_{n}(f)}$ do macierzy ${\displaystyle A_{n},}$ co stanowi związek między nimi.

Pomnożenie dowolnej macierzy przez ${\displaystyle J_{n,1}}$ z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez ${\displaystyle J_{n,1}}$ jest odbiciem względem antydiagonali.

Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali ${\displaystyle J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}}$ może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo ${\displaystyle \det J_{n,1}=(-1)^{n(n-1)/2}}$), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.

Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f)}$ wynika, że najwyższy współczynnik ${\displaystyle a}$ wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy ${\displaystyle J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}.}$

Wprowadźmy oznaczenie ${\displaystyle D_{n}(t)=\operatorname {diag} (t,1,\dots ,1).}$ Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez ${\displaystyle t,}$ a mnożenie z prawej strony mnoży przez ${\displaystyle t}$ pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez ${\displaystyle D_{n}(a^{-1})}$ usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez ${\displaystyle C_{n}(f),}$ czyli

${\displaystyle C_{n}(f)=D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1}).}$

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

${\displaystyle \det C_{n}(f)=a^{-2}\det B_{n}(f).}$

Na przykład

${\displaystyle C_{3}(f)=D_{3}(a^{-1})J_{3,1}B_{3}(f)J_{3,1}D_{3}(a^{-1})=\left[{\begin{smallmatrix}3&2b&c\\2b&2b^{2}-2ac&bc-3ad\\c&bc-3ad&c^{2}-2bd\end{smallmatrix}}\right].}$

Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy ${\displaystyle A_{3},}$ ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy ${\displaystyle C_{3}(f),}$ nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w ${\displaystyle A_{3}.}$

Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez ${\displaystyle b,}$ od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez ${\displaystyle c,}$ i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez ${\displaystyle -1}$ i pierwszą kolumnę też przez ${\displaystyle -1.}$ Macierz przekształcona jest równa ${\displaystyle A_{3}.}$

W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

${\displaystyle F_{3}={\begin{bmatrix}-1&-b&-c\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

a dla wierszy jest to macierz ${\displaystyle F_{3}^{\operatorname {T} },}$ czyli ${\displaystyle A_{3}=F_{3}^{\operatorname {T} }C_{3}(f)F_{3}.}$

Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn. ${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+\dots +a_{n},}$

${\displaystyle F_{n}={\begin{bmatrix}-1&-a_{1}&\dots &-a_{n-1}\\&1&&\\&&\ddots &\\&&&1\end{bmatrix}}}$

i ${\displaystyle A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \det F_{n}=-1,}$ to ${\displaystyle \det A_{n}=\det C_{n}(f),}$ więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

${\displaystyle D(f)=a_{0}^{-2}\det B_{n}(f).}$

Macierz ${\displaystyle F_{n}}$ jest inwolutywna, to znaczy ${\displaystyle F_{n}^{2}=I_{n},}$ skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy ${\displaystyle A_{n}}$ przekształca ją z powrotem w ${\displaystyle C_{n}(f),}$ ponieważ

${\displaystyle F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}F_{n}=I_{n}C_{n}(f)I_{n}=C_{n}(f).}$

Zatem macierze ${\displaystyle C_{n}(f)}$ i ${\displaystyle A_{n}}$ przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji ${\displaystyle F_{n}.}$

Związek pomiędzy macierzą ${\displaystyle A_{n}}$ i macierzą Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f)}$ wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

${\displaystyle A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1})F_{n}}$

i na odwrót

${\displaystyle B_{n}(f)=J_{n,1}D_{n}(a)F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}D_{n}(a)J_{n,1}.}$

Choć ${\displaystyle A_{n}}$ nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.

Podsumowanie
1. Macierz ${\displaystyle A_{n}}$ nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f)}$ i natychmiast otrzymać ${\displaystyle C_{n}(f),}$ a następnie obliczyć ${\displaystyle A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.}$

2. Dla wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ istnieją macierze stopnia ${\displaystyle n,}$ których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

${\displaystyle \Delta _{1}(a,b)=1}$

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle \Delta _{2}(a,b,c)=-4ac+b^{2}}$

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle \Delta _{3}(a,b,c,d)=-27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}-4b^{3}d+b^{2}c^{2}}$

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$

${\displaystyle \Delta _{4}(a,b,c,d,e)=}$

${\displaystyle 256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de}$

${\displaystyle +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}$

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
    uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

${\displaystyle p(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f}$

${\displaystyle \Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=}$

Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian
1	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3125}$	${\displaystyle a^{4}f^{4}}$		21	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle a^{2}cd^{2}e^{3}}$		41	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{4}e^{3}}$
2	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2500}$	${\displaystyle a^{3}bef^{3}}$		22	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle a^{2}d^{5}f}$		42	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{3}d^{3}f}$
3	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 3750}$	${\displaystyle a^{3}cdf^{3}}$		23	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle a^{2}d^{4}e^{2}}$		43	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle ac^{3}d^{2}e^{2}}$
4	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle a^{3}ce^{2}f^{2}}$		24	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle ab^{3}cf^{3}}$		44	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle b^{5}f^{3}}$
5	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{3}d^{2}ef^{2}}$		25	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle ab^{3}def^{2}}$		45	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle b^{4}cef^{2}}$
6	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle a^{3}de^{3}f}$		26	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 36}$	${\displaystyle ab^{3}e^{3}f}$		46	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle b^{4}d^{2}f^{2}}$
7	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle a^{3}e^{5}}$		27	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}ef^{2}}$		47	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{4}de^{2}f}$
8	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}df^{3}}$		28	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle ab^{2}cd^{2}f^{2}}$		48	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{4}e^{4}}$
9	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 50}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}e^{2}f^{2}}$		29	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 746}$	${\displaystyle ab^{2}cde^{2}f}$		49	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}df^{2}}$
10	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{2}bc^{2}f^{3}}$		30	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle ab^{2}ce^{4}}$		50	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}e^{2}f}$
11	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2050}$	${\displaystyle a^{2}bcdef^{2}}$		31	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle ab^{2}d^{3}ef}$		51	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle b^{3}cd^{2}ef}$
12	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle a^{2}bce^{3}f}$		32	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle ab^{2}d^{2}e^{3}}$		52	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{3}cde^{3}}$
13	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle a^{2}bd^{3}f^{2}}$		33	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle abc^{3}df^{2}}$		53	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle b^{3}d^{4}f}$
14	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle a^{2}bd^{2}e^{2}f}$		34	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle abc^{3}e^{2}f}$		54	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{3}d^{3}e^{2}}$
15	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle a^{2}bde^{4}}$		35	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 356}$	${\displaystyle abc^{2}d^{2}ef}$		55	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{2}c^{4}f^{2}}$
16	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}ef^{2}}$		36	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle abc^{2}de^{3}}$		56	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}def}$
17	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 825}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}d^{2}f^{2}}$		37	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle abcd^{4}f}$		57	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}e^{3}}$
18	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}de^{2}f}$		38	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle abcd^{3}e^{2}}$		58	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{3}f}$
19	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}e^{4}}$		39	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle ac^{5}f^{2}}$		59	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}}$
20	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle a^{2}cd^{3}ef}$		40	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle ac^{4}def}$

6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

${\displaystyle p(x)=ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g}$

${\displaystyle \Delta _{6}(a,b,c,d,e,f,g)=}$

Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom
1	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 46656}$	${\displaystyle a^{5}g^{5}}$		51	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 31320}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}cdfg^{3}}$		101	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4860}$	${\displaystyle a^{2}cd^{4}eg^{2}}$		151	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle ab^{2}d^{2}e^{3}f^{2}}$		201	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle b^{4}ce^{2}f^{2}g}$
2	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 38880}$	${\displaystyle a^{4}bfg^{4}}$		52	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6480}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}ce^{2}g^{3}}$		102	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 162}$	${\displaystyle a^{2}cd^{4}f^{2}g}$		152	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 6912}$	${\displaystyle abc^{4}dg^{3}}$		202	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle b^{4}cef^{4}}$
3	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 62208}$	${\displaystyle a^{4}ceg^{4}}$		53	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 8748}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}cef^{2}g^{2}}$		103	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2808}$	${\displaystyle a^{2}cd^{3}e^{2}fg}$		153	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 640}$	${\displaystyle abc^{4}efg^{2}}$		203	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle b^{4}d^{3}fg^{2}}$
4	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 32400}$	${\displaystyle a^{4}cf^{2}g^{3}}$		54	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1700}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}cf^{4}g}$		104	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle a^{c}d^{3}ef^{3}}$		154	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle abc^{4}f^{3}g}$		204	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 825}$	${\displaystyle b^{4}d^{2}e^{2}g^{2}}$
5	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 34992}$	${\displaystyle a^{4}d^{2}g^{4}}$		55	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27540}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}d^{2}eg^{3}}$		105	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 576}$	${\displaystyle a^{2}cd^{2}e^{4}g}$		155	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4464}$	${\displaystyle abc^{3}d^{2}fg^{2}}$		205	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle b^{4}d^{2}ef^{2}g}$
6	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 77760}$	${\displaystyle a^{4}defg^{3}}$		56	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 15417}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}d^{2}f^{2}g^{2}}$		106	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle a^{2}cd^{2}e^{3}f^{2}}$		156	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2496}$	${\displaystyle abc^{3}de^{2}g^{2}}$		206	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle b^{4}d^{2}f^{4}}$
7	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 27000}$	${\displaystyle a^{4}df^{3}g^{2}}$		57	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16632}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}de^{2}fg^{2}}$		107	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 729}$	${\displaystyle a^{2}d^{6}g^{2}}$		157	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3272}$	${\displaystyle abc^{3}def^{2}g}$		207	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle b^{4}de^{3}fg}$
8	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 13824}$	${\displaystyle a^{4}e^{3}g^{3}}$		58	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 12330}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}def^{3}g}$		108	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 486}$	${\displaystyle a^{2}d^{5}efg}$		158	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle abc^{3}df^{4}}$		208	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{4}de^{2}f^{3}}$
9	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 43200}$	${\displaystyle a^{4}e^{2}f^{2}g^{2}}$		59	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}df^{5}}$		109	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle a^{2}d^{5}f^{3}}$		159	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 96}$	${\displaystyle abc^{3}e^{3}fg}$		209	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle b^{4}e^{5}g}$
10	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 22500}$	${\displaystyle a^{4}ef^{4}g}$		60	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}e^{4}g^{2}}$		110	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle a^{2}d^{4}e^{3}g}$		160	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle abc^{3}e^{2}f^{3}}$		210	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{4}e^{4}f^{2}}$
11	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3125}$	${\displaystyle a^{4}f^{6}}$		61	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 248}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}e^{3}f^{2}g}$		111	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle a^{2}d^{4}e^{2}f^{2}}$		161	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2808}$	${\displaystyle abc^{2}d^{3}eg^{2}}$		211	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle b^{3}c^{3}dg^{3}}$
12	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 32400}$	${\displaystyle a^{3}b^{2}eg^{4}}$		62	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 50}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}e^{2}f^{4}}$		112	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 22500}$	${\displaystyle ab^{4}cg^{4}}$		162	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle abc^{2}d^{3}f^{2}g}$		212	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle b^{3}c^{3}efg^{2}}$
13	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 540}$	${\displaystyle a^{3}b^{2}f^{2}g^{3}}$		63	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 21888}$	${\displaystyle a^{2}bc^{3}fg^{3}}$		113	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle ab^{4}dfg^{3}}$		163	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1584}$	${\displaystyle abc^{2}d^{2}e^{2}fg}$		213	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 36}$	${\displaystyle b^{3}c^{3}f^{3}g}$
14	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 77760}$	${\displaystyle a^{3}bcdg^{4}}$		64	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 3456}$	${\displaystyle a^{b}c^{2}deg^{3}}$		114	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1500}$	${\displaystyle ab^{4}e^{2}g^{3}}$		164	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 356}$	${\displaystyle abc^{2}d^{2}ef^{3}}$		214	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}d^{2}fg^{2}}$
15	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 31968}$	${\displaystyle a^{3}bcefg^{3}}$		65	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16632}$	${\displaystyle a^{2}bc^{2}df^{2}g^{2}}$		115	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1700}$	${\displaystyle ab^{4}ef^{2}g^{2}}$		165	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 320}$	${\displaystyle abc^{2}de^{4}g}$		215	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}de^{2}g^{2}}$
16	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1800}$	${\displaystyle a^{3}bcf^{3}g^{2}}$		66	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 15264}$	${\displaystyle a^{2}bc^{2}e^{2}fg^{2}}$		116	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 320}$	${\displaystyle ab^{4}f^{4}g}$		166	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle abc^{2}de^{3}f^{2}}$		216	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 746}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}def^{2}g}$
17	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 15552}$	${\displaystyle a^{3}bd^{2}fg^{3}}$		67	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 13040}$	${\displaystyle a^{2}bc^{2}ef^{3}g}$		117	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 15600}$	${\displaystyle ab^{3}c^{2}fg^{3}}$		167	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 486}$	${\displaystyle abcd^{5}g^{2}}$		217	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}df^{4}}$
18	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 46656}$	${\displaystyle a^{3}bde^{2}g^{3}}$		68	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{2}bc^{2}f^{5}}$		118	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 19800}$	${\displaystyle ab^{3}cdeg^{3}}$		168	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 324}$	${\displaystyle abcd^{4}efg}$		218	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}e^{3}fg}$
19	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 31320}$	${\displaystyle a^{3}bdef^{2}g^{2}}$		69	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 21384}$	${\displaystyle a^{2}bcd^{3}g^{3}}$		119	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 12330}$	${\displaystyle ab^{3}cdf^{2}g^{2}}$		169	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle abcd^{4}f^{3}}$		219	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}e^{2}f^{3}}$
20	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{3}bdf^{4}g}$		70	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 22896}$	${\displaystyle a^{2}bcd^{2}efg^{2}}$		120	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 13040}$	${\displaystyle ab^{3}ce^{2}fg^{2}}$		170	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle abcd^{3}e^{3}g}$		220	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle b^{3}cd^{3}eg^{2}}$
21	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 21888}$	${\displaystyle a^{3}be^{3}fg^{2}}$		71	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1980}$	${\displaystyle a^{2}bcd^{2}f^{3}g}$		121	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 9768}$	${\displaystyle ab^{3}cef^{3}g}$		171	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle abcd^{3}e^{2}f^{2}}$		221	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle b^{3}cd^{3}f^{2}g}$
22	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 15600}$	${\displaystyle a^{3}be^{2}f^{3}g}$		72	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 5760}$	${\displaystyle a^{2}bcde^{3}g^{2}}$		122	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle ab^{3}cf^{5}}$		172	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1024}$	${\displaystyle ac^{6}g^{3}}$		222	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 356}$	${\displaystyle b^{3}cd^{2}e^{2}fg}$
23	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2500}$	${\displaystyle a^{3}bef^{5}}$		73	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 10152}$	${\displaystyle a^{2}bcde^{2}f^{2}g}$		123	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1350}$	${\displaystyle ab^{3}d^{3}g^{3}}$		173	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 768}$	${\displaystyle ac^{5}dfg^{2}}$		223	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle b^{3}cd^{2}ef^{3}}$
24	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 13824}$	${\displaystyle a^{3}c^{3}g^{4}}$		74	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2050}$	${\displaystyle a^{2}bcdef^{4}}$		124	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1980}$	${\displaystyle ab^{3}d^{2}efg^{2}}$		174	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 512}$	${\displaystyle ac^{5}e^{2}g^{2}}$		224	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle b^{3}cde^{4}g}$
25	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 46656}$	${\displaystyle a^{3}c^{2}dfg^{3}}$		75	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 640}$	${\displaystyle a^{2}bce^{4}fg}$		125	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 208}$	${\displaystyle ab^{3}d^{2}f^{3}g}$		175	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 576}$	${\displaystyle ac^{5}ef^{2}g}$		225	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{3}cde^{3}f^{2}}$
26	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 17280}$	${\displaystyle a^{3}c^{2}e^{2}g^{3}}$		76	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle a^{2}bce^{3}f^{3}}$		126	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 120}$	${\displaystyle ab^{3}de^{3}g^{2}}$		176	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle ac^{5}f^{4}}$		226	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle b^{3}d^{5}g^{2}}$
27	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6480}$	${\displaystyle a^{3}c^{2}ef^{2}g^{2}}$		77	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6318}$	${\displaystyle a^{2}bd^{4}fg^{2}}$		127	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 682}$	${\displaystyle ab^{3}de^{2}f^{2}g}$		177	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 576}$	${\displaystyle ac^{4}d^{2}eg^{2}}$		227	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle b^{3}d^{4}efg}$
28	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1500}$	${\displaystyle a^{3}c^{2}f^{4}g}$		78	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 5832}$	${\displaystyle a^{2}bd^{3}e^{2}g^{2}}$		128	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle ab^{3}def^{4}}$		178	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle ac^{4}d^{2}f^{2}g}$		228	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle b^{3}d^{4}f^{3}}$
29	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3888}$	${\displaystyle a^{3}cd^{2}eg^{3}}$		79	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3942}$	${\displaystyle a^{2}bd^{3}ef^{2}g}$		129	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle ab^{3}e^{4}fg}$		179	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 320}$	${\displaystyle ac^{4}de^{2}fg}$		229	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle b^{3}d^{3}e^{3}g}$
30	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27540}$	${\displaystyle a^{3}cd^{2}f^{2}g^{2}}$		80	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle a^{2}bd^{3}f^{4}}$		130	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 36}$	${\displaystyle ab^{3}e^{3}f^{3}}$		180	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle ac^{4}def^{3}}$		230	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{3}d^{3}e^{2}f^{2}}$
31	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 3456}$	${\displaystyle a^{3}cde^{2}fg^{2}}$		81	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4464}$	${\displaystyle a^{2}bd^{2}e^{3}fg}$		131	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 10560}$	${\displaystyle ab^{2}c^{3}eg^{3}}$		181	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 64}$	${\displaystyle ac^{4}e^{4}g}$		231	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle b^{2}c^{5}g^{3}}$
32	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 19800}$	${\displaystyle a^{3}cdef^{3}g}$		82	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle a^{2}bd^{2}e^{2}f^{3}}$		132	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 248}$	${\displaystyle ab^{2}c^{3}f^{2}g^{2}}$		182	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{4}e^{3}f^{2}}$		232	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle b^{2}c^{4}dfg^{2}}$
33	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 3750}$	${\displaystyle a^{3}cdf^{5}}$		83	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 768}$	${\displaystyle a^{2}bde^{5}g}$		133	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 9720}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}d^{2}g^{3}}$		183	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle ac^{3}d^{4}g^{2}}$		233	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle b^{2}c^{4}e^{2}g^{2}}$
34	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 9216}$	${\displaystyle a^{3}ce^{4}g^{2}}$		84	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle a^{2}bde^{4}f^{2}}$		134	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 10152}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}defg^{2}}$		184	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle ac^{3}d^{3}efg}$		234	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{2}c^{4}ef^{2}g}$
35	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 10560}$	${\displaystyle a^{3}ce^{3}f^{2}g}$		85	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 9216}$	${\displaystyle a^{2}c^{4}eg^{3}}$		135	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 682}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}df^{3}g}$		185	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{3}d^{3}f^{3}}$		235	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{2}c^{4}f^{4}}$
36	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle a^{3}ce^{2}f^{4}}$		86	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle a^{2}c^{4}f^{2}g^{2}}$		136	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 4816}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}e^{3}g^{2}}$		186	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{3}d^{2}e^{3}g}$		236	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}d^{2}eg^{2}}$
37	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 8748}$	${\displaystyle a^{3}d^{4}g^{3}}$		87	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 8640}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}d^{2}g^{3}}$		137	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 5428}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}e^{2}f^{2}g}$		187	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle ac^{3}d^{2}e^{2}f^{2}}$		237	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}d^{2}f^{2}g}$
38	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 21384}$	${\displaystyle a^{3}d^{3}efg^{2}}$		88	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 5760}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}defg^{2}}$		138	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}ef^{4}}$		188	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3125}$	${\displaystyle b^{6}g^{4}}$		238	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}de^{2}fg}$
39	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1350}$	${\displaystyle a^{3}d^{3}f^{3}g}$		89	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 120}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}df^{3}g}$		139	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3942}$	${\displaystyle ab^{2}cd^{3}fg^{2}}$		189	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2500}$	${\displaystyle b^{5}cfg^{3}}$		239	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}def^{3}}$
40	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 8640}$	${\displaystyle a^{3}d^{2}e^{3}g^{2}}$		90	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4352}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}e^{3}g^{2}}$		140	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4536}$	${\displaystyle ab^{2}cd^{2}e^{2}g^{2}}$		190	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 3750}$	${\displaystyle b^{5}deg^{3}}$		240	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}e^{4}g}$
41	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 9720}$	${\displaystyle a^{3}d^{2}e^{2}f^{2}g}$		91	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 4816}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}e^{2}f^{2}g}$		141	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2412}$	${\displaystyle ab^{2}cd^{2}ef^{2}g}$		191	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle b^{5}df^{2}g^{2}}$		241	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}e^{3}f^{2}}$
42	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{3}d^{2}ef^{4}}$		92	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}ef^{4}}$		142	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle ab^{2}cd^{2}f^{4}}$		192	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle b^{5}e^{2}fg^{2}}$		242	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{4}g^{2}}$
43	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 6912}$	${\displaystyle a^{3}de^{4}fg}$		93	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 5832}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}d^{3}fg^{2}}$		143	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3272}$	${\displaystyle ab^{2}cde^{3}fg}$		193	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle b^{5}ef^{3}g}$		243	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{3}efg}$
44	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle a^{3}de^{3}f^{3}}$		94	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 8208}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}d^{2}e^{2}g^{2}}$		144	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 746}$	${\displaystyle ab^{2}cde^{2}f^{3}}$		194	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle b^{5}f^{5}}$		244	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{3}f^{3}}$
45	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1024}$	${\displaystyle a^{3}e^{6}g}$		95	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4536}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}d^{2}ef^{2}g}$		145	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 576}$	${\displaystyle ab^{2}ce^{5}g}$		195	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle b^{4}c^{2}eg^{3}}$		245	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{2}e^{3}g}$
46	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle a^{3}e^{5}f^{2}}$		96	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 825}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}d^{2}f^{4}}$		146	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle ab^{2}ce^{4}f^{2}}$		196	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 50}$	${\displaystyle b^{4}c^{2}f^{2}g^{2}}$		246	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}f^{2}}$
47	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 27000}$	${\displaystyle a^{2}b^{3}dg^{4}}$		97	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2496}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}de^{3}fg}$		147	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 162}$	${\displaystyle ab^{2}d^{4}eg^{2}}$		197	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle b^{4}cd^{2}g^{3}}$
48	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1800}$	${\displaystyle a^{2}b^{3}efg^{3}}$		98	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}de^{2}f^{3}}$		148	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle ab^{2}d^{3}e^{2}fg}$		198	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2050}$	${\displaystyle b^{4}cdefg^{2}}$
49	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 410}$	${\displaystyle a^{2}b^{3}f^{3}g^{2}}$		99	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 512}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}e^{5}g}$		149	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle ab^{2}d^{3}ef^{3}}$		199	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle b^{4}cdf^{3}g}$
50	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 43200}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}c^{2}g^{4}}$		100	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}e^{4}f^{2}}$		150	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle ab^{2}d^{2}e^{4}g}$		200	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle b^{4}ce^{3}g^{2}}$

Wyróżnikiem trójmianu ${\displaystyle ax^{n}+bx+c}$ jest^[b]

• ${\displaystyle D(ax^{n}+bx+c)=\Delta _{n}(a,0,\dots ,0,b,c)=(-1)^{n(n-1)/2}\left((1-n)^{n-1}a^{n-2}b^{n}+n^{n}a^{n-1}c^{n-1}\right).}$

Gdy przyjmiemy ${\displaystyle b=0,}$ to otrzymamy przypadek szczególny dla dwumianu ${\displaystyle ax^{n}+c.}$ Jako przypadek szczególny wzoru prawdziwego dla ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ jest on spełniony dla tych ${\displaystyle n,}$ ale nie ma pewności, że także dla ${\displaystyle n=1.}$ Bezpośrednio sprawdzamy, że pozostaje w mocy dla ${\displaystyle n=1.}$

• ${\displaystyle D(ax^{n}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}a^{n-1}c^{n-1}\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$

Gdy zaś przyjmiemy ${\displaystyle c=0,}$ to otrzymamy drugi przypadek szczególny dla dwumianu ${\displaystyle ax^{n}+bx.}$

${\displaystyle D(ax^{n}+bx)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(1-n)^{n-1}a^{n-2}b^{n}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}}$

${\displaystyle =(-1)^{{\frac {n(n-1)}{2}}+n-1}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}=(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}}$

• ${\displaystyle D(ax^{n}+bx)=(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 2}$

Ten wynik można otrzymać prościej, korzystając ze wzoru redukcyjnego (patrz następny rozdział) i poprzedniego wyróżnika. ${\displaystyle D(ax^{n}+bx)=D((ax^{n-1}+b)x)=b^{2}D(ax^{n-1}+b)=b^{2}(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n-2}}$

${\displaystyle =(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}a^{n-2}b^{n}}$

Pierwszy wzór na liście ma uogólnienie na dowolny trójmian znalezione przez R.G. Swana (1962)^[3][4].

Niech ${\displaystyle n>m>0}$ i niech ${\displaystyle d=(n,m)}$^[c], ${\displaystyle {}\ \ n=n_{1}d,\quad m=m_{1}d.}$ Wtedy

• ${\displaystyle D(ax^{n}+bx^{m}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a^{(n-m-1)}c^{(m-1)}\left(n^{n_{1}}a^{m_{1}}c^{n_{1}-m_{1}}+(-1)^{n_{1}+1}(n-m)^{n_{1}-m_{1}}m^{m_{1}}b^{n_{1}}\right)^{d}}$

Można oznaczyć dodatkowo ${\displaystyle s=(-1)^{n_{1}+1}(n-m)^{n_{1}-m_{1}},}$ by wzór miał bardziej zwartą postać

• ${\displaystyle D(ax^{n}+bx^{m}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a^{(n-m-1)}c^{(m-1)}\left(n^{n_{1}}a^{m_{1}}c^{n_{1}-m_{1}}+sm^{m_{1}}b^{n_{1}}\right)^{d}}$

Dowolny trójmian jednej zmiennej ma postać ${\displaystyle ax^{n}+bx^{m}+cx^{l},}$ gdzie ${\displaystyle n>m>l\geqslant 0.}$ Jeżeli ${\displaystyle l>1,}$ to jego wyróżnik jest równy zeru (pierwiastek wielokrotny ${\displaystyle 0}$), jeżeli ${\displaystyle l=0,}$ to stosuje się ostatni wzór z listy, a jeżeli ${\displaystyle l=1,}$ to można zastosować wzór redukcyjny ${\displaystyle D(ax^{n}+bx^{m}+cx)=c^{2}D(ax^{n-1}+bx^{m-1}+c)}$ i ostatni wyróżnik obliczyć ze wzoru Swana. Znane są zatem ogólne wzory na wyróżnik dowolnego trójmianu i dowolnego dwumianu. Przypadek jednomianu jest trywialny, choć jednomian nie może być dowolny, bo dla stopnia 0 wyróżnik nie jest zdefiniowany.

Niech ${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$ będzie macierzą ${\displaystyle A_{n},}$ w której ${\displaystyle a_{n}=0}$ i podobnie dla ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}.}$ W macierzy ${\displaystyle L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }}$ nie występuje wyraz wolny ${\displaystyle a_{n},}$ więc pozostaje ona bez zmian, zaś ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}=0,}$ co wynika wprost z definicji macierzy ${\displaystyle B_{n}.}$ Stąd dostajemy

${\displaystyle \Delta _{n}(a_{0},\dots ,a_{n-1},0)=\det {\widetilde {A}}_{n}=\det(L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} })=\det L_{n}\det A_{n}^{'}\det L_{n}^{\operatorname {T} }.}$

Ponieważ ${\displaystyle \det L_{n}=a_{n-1},}$ to

${\displaystyle \det L_{n}\det A_{n}^{'}\det L_{n}^{\operatorname {T} }=a_{n-1}^{2}\det A_{n}^{'}=a_{n-1}^{2}\det A_{n-1}=a_{n-1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{0},\dots ,a_{n-1}).}$

Przeto

${\displaystyle \Delta _{n}(a_{0},\dots ,a_{n-1},0)=a_{n-1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{0},\dots ,a_{n-1})\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 2.}$

Bardziej znany jest inny dowód^[d] tej zależności, w którym nie korzysta się z definicji rekursyjnej.

Przykład

Wyróżnik ${\displaystyle \Delta _{4}(a,b,c,d,e)}$ wielomianu 4 stopnia ma 16 składników. Gdy przyjąć w nim ${\displaystyle e=0,}$ to pozostanie tylko 5 składników, a po wyciągnięciu ${\displaystyle d^{2}}$ przed nawias, w nawiasie otrzymamy wyróżnik ${\displaystyle \Delta _{3}(a,b,c,d)}$ wielomianu 3 stopnia.

Zachodzi też równość do pewnego stopnia symetryczna względem powyższej. Gdy do wyróżnika ${\displaystyle \Delta _{n}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$ podstawimy ${\displaystyle a_{0}=0,}$ to nie otrzymamy wyróżnika żadnego wielomianu, bo wszystkie rozważania prowadzone są przy założeniu, że wielomian jest stopnia ${\displaystyle n,}$ to znaczy z ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ Tym niemniej, rozpatrując ten wyróżnik jako pewien wielomian zależny od ${\displaystyle n+1}$ zmiennych, można przyjąć w nim ${\displaystyle a_{0}=0}$ i rozważyć czym jest otrzymane wyrażenie. Okazuje się, że przy założeniu ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$ spełniona jest równość

${\displaystyle \Delta _{n}(0,a_{1},\dots ,a_{n})=a_{1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{1},\dots ,a_{n})\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 2,}$

gdzie ${\displaystyle \Delta _{n-1}(a_{1},\dots ,a_{n})}$ jest wyróżnikiem wielomianu ${\displaystyle g(x)=a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_{n}}$ stopnia ${\displaystyle n-1.}$ Poniżej przedstawiony jest tylko przykładowy dowód dla przypadku szczególnego ${\displaystyle n=3,}$ gdyż uogólnienie na dowolne ${\displaystyle n\geqslant 2}$ jest oczywiste, choć nieco uciążliwe w zapisie.

Dowód: Wyróżnikiem wielomianu ${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ stopnia 3 jest z definicji ${\displaystyle \Delta _{3}(a,b,c,d)=-{\frac {1}{a}}\left|{\begin{smallmatrix}a&b&c&d&0\\0&a&b&c&d\\3a&2b&c&0&0\\0&3a&2b&c&0\\0&0&3a&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=-\left|{\begin{smallmatrix}1&b&c&d&0\\0&a&b&c&d\\3&2b&c&0&0\\0&3a&2b&c&0\\0&0&3a&2b&c\end{smallmatrix}}\right|.}$

W tej postaci, ze skróconym wyrazem ${\displaystyle a}$ w mianowniku, możliwe jest już podstawienie w macierzy ${\displaystyle a=0,}$ więc otrzymujemy ${\displaystyle \Delta _{3}(0,b,c,d)=-\left|{\begin{smallmatrix}1&b&c&d&0\\0&0&b&c&d\\3&2b&c&0&0\\0&0&2b&c&0\\0&0&0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=-\left|{\begin{smallmatrix}0&b&c&d\\2b&c&0&0\\0&2b&c&0\\0&0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|-3\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d&0\\0&b&c&d\\0&2b&c&0\\0&0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=2b\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|-3b\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|=-b\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|.}$ Z drugiej strony, dla wielomianu ${\displaystyle g(x)=bx^{2}+cx+d,}$ gdzie ${\displaystyle b\neq 0,}$ mamy z definicji ${\displaystyle \Delta _{2}(b,c,d)=-{\frac {1}{b}}\left|{\begin{smallmatrix}b&c&d\\2b&c&0\\0&2b&c\end{smallmatrix}}\right|.}$

Zatem ${\displaystyle \Delta _{3}(0,b,c,d)=b^{2}\Delta _{2}(b,c,d).}$

Dowód ogólny przebiega analogicznie.

Przykład

Przedstawiona zależność jest wyraźnie widoczna, gdy wyróżniki są uporządkowane leksykograficznie, bo wtedy wszystkie składniki, w których występuje najwyższy współczynnik ${\displaystyle a,}$ znajdują się na początku, a te w których nie występuje – na końcu. W tabeli z wyróżnikiem wielomianu 5 stopnia składniki od 44 do 59, po podzieleniu każdego z nich przez ${\displaystyle b^{2},}$ utworzą wyróżnik wielomianu ${\displaystyle g(x)=bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f.}$ Widoczne jest, że wszystkie współczynniki są dokładnie współczynnikami wyróżnika wielomianu 4 stopnia i są wypisane w tej samej kolejności.

Przy bardziej naturalnym indeksowaniu współczynników wielomianu pierwsza zależność ma postać ${\displaystyle {}\quad \ \Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{1},0)=a_{1}^{2}\Delta _{n-1}(a_{n},\dots ,a_{1}).}$

Może być także zapisana równoważnie w postaci wzoru redukcyjnego

${\displaystyle D(a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x)=a_{1}^{2}D(a_{n}x^{n-1}+\dots +a_{1})\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 2}$

lub ${\displaystyle {}\ D(xf)=f^{2}(0)D(f)\quad {}}$ dla ${\displaystyle \deg(f)\geqslant 1.}$

Podobny zapis w postaci wzoru redukcyjnego dla drugiej zależności nie jest możliwy.

W tych własnościach ${\displaystyle n}$ oznacza zawsze stopień odpowiedniego wielomianu, o ile występuje w danej równości.

Własności ogólne

• Gdy ${\displaystyle K\subset L\;(L}$ jest rozszerzeniem ciała ${\displaystyle K)}$ i ${\displaystyle p\in K[x],}$ to także ${\displaystyle p\in L[x],}$ a wyróżnik nie zależy od ciała, nad którym rozpatrywany jest wielomian ${\displaystyle p,}$ to znaczy ${\displaystyle D_{K}(p)=D_{L}(p).}$ Ta niezmienniczość względem rozszerzeń ciała ${\displaystyle K}$ wynika stąd, że wyróżnik zależy tylko od stopnia i współczynników wielomianu.
• ${\displaystyle D(p)=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ${\displaystyle p}$ ma pierwiastki wielokrotne
• ${\displaystyle D(pq)=D(p)D(q)R^{2}(p,q)\quad {}}$ dla ${\displaystyle \deg(p),\,\deg(q)\geqslant 1,\ R}$ – rugownik
• ${\displaystyle D(\alpha p)=\alpha ^{2n-2}D(p)\quad {}}$ dla ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Własności przy zamianie zmiennej

• ${\displaystyle D(f(x+\beta ))=D(f(x))}$
• ${\displaystyle D(f(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}D(f(x))\quad {}}$ dla ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Ponieważ ${\displaystyle \alpha x+\beta =\alpha (x+\beta /\alpha ),}$ to dwie ostatnie własności można zapisać jako jedną ogólniejszą.

• ${\displaystyle D(f(\alpha x+\beta ))=\alpha ^{n(n-1)}D(f(x))\quad {}}$ dla ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Własność 2, nazywana powyżej podstawową, decyduje o najczęstszych zastosowaniach wyróżnika. Własności od 2 do 6 łatwo wynikają z drugiej definicji z wyznacznikiem Vandermonda.

Wielomian ${\displaystyle p(x)=ax+b}$ stopnia 1, nad dowolnym ciałem ${\displaystyle K,}$ ma zawsze pierwiastek ${\displaystyle x_{1}=-b/a}$ i ten jedyny pierwiastek należy do ciała ${\displaystyle K.}$

Wielomian ${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$ stopnia 2 nad ciałem ${\displaystyle K}$ o charakterystyce różnej od 2 (na przykład nad ciałem liczbowym) ma pierwiastki w ${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele ${\displaystyle K.}$ Jeżeli jest kwadratem, to pierwiastki wyrażają się dobrze znanym wzorem ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$ a jeżeli nie jest, to wielomian jest nierozkładalny^[e] w ${\displaystyle K.}$

Dowód tego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu dla ciała liczb rzeczywistych – przez wydzielenie z trójmianu pełnego kwadratu^[5].

Jeśli ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już w ciele liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest inaczej: trójmian ${\displaystyle x^{2}-3x+2}$ ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik ${\displaystyle \Delta =1}$ jest kwadratem w ciele ${\displaystyle \mathbb {Q} ;}$ trójmian ${\displaystyle x^{2}-3x+1}$ ma dodatni wyróżnik ${\displaystyle \Delta =5,}$ więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Gdy charakterystyka ciała ${\displaystyle \chi (K)=2,}$ to ${\displaystyle \Delta _{2}(a,b,c)=b^{2}-4ac=b^{2},}$ bo w takich ciałach ${\displaystyle 4=0.}$ Zatem wyróżnik jest zawsze kwadratem^[f], a mianowicie elementu ${\displaystyle b\ \ (-b=b,}$ bo ${\displaystyle -1=1).}$ Można jednak wskazać trójmian kwadratowy, który nie ma pierwiastków w ${\displaystyle K,}$ co wyjaśnia założenie o charakterystyce w powyższym twierdzeniu.

Oczywiście do sprawdzenia krotności pierwiastków wciąż można (jak zawsze) posłużyć się wyróżnikiem. Wielomian ${\displaystyle p,}$ jak wyżej, ma jeden pierwiastek dwukrotny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle b=0.}$ W przypadku ciała skończonego pierwiastek dwukrotny jest elementem tego ciała.

W tym podrozdziale stale obowiązuje założenie, że wielomian ${\displaystyle f}$ jest nad ciałem liczb rzeczywistych, czyli ${\displaystyle f\in \mathbb {R} [x].}$ Domknięciem algebraicznym ciała ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest ciało liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ więc każdy wielomian ma wszystkie pierwiastki w ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Wielomianami nierozkładalnymi w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mogą być jedynie wielomiany 1 i 2 stopnia, więc każdy wielomian ${\displaystyle f}$ dodatniego stopnia rozkłada się w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ na iloczyn wielomianów nierozkładalnych co najwyżej 2 stopnia. Jeżeli pewien czynnik w rozkładzie ma stopień 2, to jego dwa pierwiastki w ciele ${\displaystyle \mathbb {C} }$ są wzajemnie sprzężonymi liczbami zespolonymi, oczywiście nie rzeczywistymi. Zatem wszystkie pierwiastki nie rzeczywiste wielomianu, o ile takie istnieją, występują w parach sprzężonych. W przypadku gdy pierwiastek pary ma krotność większą niż 1, to także sprzężony z nim w parze ma tę samą krotność, więc można mówić o krotności całej pary pierwiastków.

Z wartości wyróżnika wielomianu można uzyskać pewną informację jakościową o pierwiastkach, tzn. o liczbie pierwiastków rzeczywistych, liczbie par zespolonych, ich krotnościach, bez obliczania tych pierwiastków. Jednak informacja otrzymana z samej wartości wyróżnika jest tym bardziej niekompletna, im większy jest stopień wielomianu. Do dokładnego rozpoznania potrzebne są inne metody.

Niech ${\displaystyle \nu (f)}$ oznacza liczbę par nie rzeczywistych pierwiastków sprzężonych wielomianu ${\displaystyle f}$ z uwzględnieniem krotności par. Zachodzi ogólne twierdzenie dla wielomianów dowolnego stopnia dodatniego.

Jeżeli ${\displaystyle D(f)>0,}$ to ${\displaystyle \nu (f)}$ jest liczbą parzystą (dopuszczalne 0), a jeżeli ${\displaystyle D(f)<0,}$ to ${\displaystyle \nu (f)}$ jest liczbą nieparzystą.

Założenia tego twierdzenia wykluczają pierwiastki wielokrotne.

Poniżej przedstawione są wnioski dla szczególnych przypadków niskich stopni. Stopień 2, omówiony już w poprzednim podrozdziale, został także włączony dla kompletności.

  Stopień 2

• ${\displaystyle D(f)>0}$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste
• ${\displaystyle D(f)=0}$   –   1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny
• ${\displaystyle D(f)<0}$   –   1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 3

• ${\displaystyle D(f)>0}$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste
• ${\displaystyle D(f)=0}$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny
• ${\displaystyle D(f)<0}$   –   1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 4

• ${\displaystyle D(f)>0}$   –   4 różne pierwiastki rzeczywiste lub 2 pary pierwiastków zespolonych sprzężonych
• ${\displaystyle D(f)=0}$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste oba dwukrotne lub
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;\,{}}$ 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 trzykrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty czterokrotny lub
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;\,{}}$ 1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny i 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;\;{}}$ lub 1 para dwukrotna pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
• ${\displaystyle D(f)<0}$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 5

• ${\displaystyle D(f)>0}$   –   5 różnych pierwiastków rzeczywistych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 pary pierwiastków zespolonych
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;{}}$ sprzężonych
• ${\displaystyle D(f)=0}$   –   6 przypadków z pierwiastkami tylko rzeczywistymi lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny i
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;\,{}}$ 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny i 1 para
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;\;{}}$ pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para dwukrotna
  ${\displaystyle {}\qquad \qquad \quad \;\;\;{}}$ pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
• ${\displaystyle D(f)<0}$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

We wzorach na wyróżniki, a także w innych wzorach, występują współczynniki całkowite. Oznaczają one sumę odpowiedniej liczby jedynek ciała ${\displaystyle K,}$ tzn. ${\displaystyle m=1+\dots +1}$ (${\displaystyle m}$ jedynek). Jeżeli ${\displaystyle \chi (K)\neq 0,}$ to pewne sumy jedynek zerują się. Gdy ${\displaystyle \chi (K)=3,}$ to ${\displaystyle 8=(1+1+1)+(1+1+1)+1+1=0+0+2=2.}$ Dlatego te współczynniki trzeba redukować modulo ${\displaystyle \chi (K).}$ Na przykład wyróżnik ${\displaystyle \Delta _{3}(a,b,c,d)}$ upraszcza się w tym przypadku następująco: ${\displaystyle -27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}-4b^{3}d+b^{2}c^{2}=-1ac^{3}-1b^{3}d+b^{2}c^{2}=-ac^{3}-b^{3}d+b^{2}c^{2}}$ i podobnie w innych przypadkach.

Przykład 1

Niech ${\displaystyle f(x)=x^{5}-6x+3,\quad f\in \mathbb {R} [x].}$ Zbadajmy jakiego rodzaju są pierwiastki tego wielomianu. Można posłużyć się pełnym wyróżnikiem zamieszczonym w tabeli powyżej, ale wygodniej skorzystać z gotowego wzoru.

${\displaystyle \Delta _{5}(a,0,0,0,b,c)=(-1)^{(5\cdot 4)/2}\left((-4)^{4}a^{3}b^{5}+5^{5}a^{4}c^{4}\right)=5^{5}a^{4}c^{4}+4^{4}a^{3}b^{5},}$ więc

${\displaystyle {\begin{aligned}D(f)&=\Delta _{5}(1,0,0,0,-6,3)=5^{5}3^{4}+4^{4}(-6)^{5}=3125\cdot 81-256\cdot 7776=253125-1990656\\&=-1737531<0.\end{aligned}}}$

Stąd wnioskujemy, że wielomian ${\displaystyle f}$ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste i jedną parę pierwiastków zespolonych sprzężonych. Ten wynik można otrzymać także innymi sposobami, ale zastosowanie wyróżnika jest najszybsze.

Przykład 2

Wypiszmy wszystkie wielomiany 2 stopnia nad ciałem ${\displaystyle \mathrm {F} _{2}.}$ Każdy niezerowy wielomian w ${\displaystyle \mathrm {F} _{2}[x]}$ jest moniczny, więc są one postaci ${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$ gdzie ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ mogą przybierać wartości 0 lub 1. Są więc 4 takie wielomiany.

${\displaystyle f_{1}=x^{2},\quad f_{2}=x^{2}+1,\quad f_{3}=x^{2}+x,\quad f_{4}=x^{2}+x+1.}$

${\displaystyle \Delta _{2}(a,b,c)=b^{2}=b.}$ Ostatnia równość wynika stąd, że ${\displaystyle b^{2}=b}$ dla każdego ${\displaystyle b\in \mathrm {F} _{2}.}$

Zatem ${\displaystyle D(f_{1})=D(f_{2})=0}$ i ${\displaystyle D(f_{3})=D(f_{4})=1.}$

Istotnie, ${\displaystyle f_{1}=(x-0)^{2}}$ ma pierwiastek dwukrotny ${\displaystyle 0,}$

${\displaystyle (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1=x^{2}+1}$ (bo ${\displaystyle 2=0}$), więc ${\displaystyle f_{2}}$ ma pierwiastek dwukrotny ${\displaystyle 1.}$

Natomiast ${\displaystyle (x-0)(x-1)=x^{2}-x=x^{2}+x=f_{3},}$ więc ${\displaystyle f_{3}}$ ma dwa różne pierwiastki ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle 1.}$

Przez bezpośrednie podstawienie przekonujemy się, że wielomian ${\displaystyle f_{4}}$ nie ma pierwiastków w ${\displaystyle \mathrm {F} _{2}.}$ Aby sprawdzić, że w swoim ciele rozkładu (jest nim ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}=\mathrm {F} _{2^{2}}}$) ma dwa różne pierwiastki, obliczmy pochodną ${\displaystyle f_{4}'=2x+1=1.}$ Wielomian ${\displaystyle f_{4}}$ nie ma wspólnego pierwiastka ze swą pochodną (bo ona w ogóle nie ma pierwiastków), więc nie ma pierwiastka dwukrotnego w ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}.}$

Ten przykład jest ilustracją uniwersalności wyróżnika. Metody stosowane w przypadku charakterystyki 2 mają własną specyfikę i różnią się znacznie od metod dla innych charakterystyk, ale wyróżnik jest na to niewrażliwy i daje zawsze właściwe wyniki niezależnie od charakterystyki ciała.

Następny przykład dotyczy ciała ${\displaystyle \mathrm {F} _{9},}$ więc przydatne mogą być najbardziej podstawowe wiadomości o tym ciele przedstawione poniżej^[6]. Są one wystarczające, by snadnie wykonywać rachunki arytmetyczne w ${\displaystyle \mathrm {F} _{9}.}$ Ciało ${\displaystyle \mathrm {F} _{9}}$ zawiera ciało proste ${\displaystyle \mathrm {F} _{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ i jest jego rozszerzeniem 2 stopnia. Może być otrzymane przez dołączenie pierwiastka monicznego wielomianu nierozkładalnego 2 stopnia z ${\displaystyle \mathrm {F} _{3}[x].}$ Wybierzmy wielomian ${\displaystyle x^{2}+1}$ (nierozkładalny, bo nie ma pierwiastka w ${\displaystyle \mathrm {F} _{3}}$). Jego pierwiastek ${\displaystyle \alpha }$ spełnia więc równanie ${\displaystyle \alpha ^{2}=-1.}$ Nazwijmy go raczej ${\displaystyle i}$ – przecież dołączyliśmy pierwiastek z ${\displaystyle -1.}$ Każdy element ciała ${\displaystyle \mathrm {F} _{9}=\mathrm {F} _{3}(i),}$ jako przestrzeni liniowej nad ${\displaystyle \mathrm {F} _{3}}$ wymiaru 2 z bazą ${\displaystyle \{1,i\},}$ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci ${\displaystyle a+bi,}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathrm {F} _{3}.}$ Te elementy dodajemy i mnożymy w zwykły sposób, z tym tylko, że ${\displaystyle i^{2}}$ zastępujemy wszędzie przez ${\displaystyle -1.}$ Jest to bardzo podobne do działań na liczbach zespolonych, z tą różnicą, że działania arytmetyczne na współczynnikach ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ odbywają się według zasad obowiązujących w małym ciele ${\displaystyle \mathrm {F} _{3}.}$ Jego elementami są ${\displaystyle 0,1}$ i ${\displaystyle 2,}$ ale wygodnie jest stosować w zapisie ${\displaystyle 0,1}$ i ${\displaystyle -1,}$ bo ${\displaystyle 2=-1.}$

Znajdźmy dla przykładu element odwrotny do ${\displaystyle 1+i.}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+i}}={\frac {1}{1+i}}\cdot {\frac {1-i}{1-i}}={\frac {1-i}{1-i^{2}}}={\frac {1-i}{2}}={\frac {1-i}{-1}}=-1(1-i)=-1+i.}$

Przykład 3

Sprawdźmy, czy wielomian ${\displaystyle ix^{2}+ix+1+i\in \mathrm {F} _{9}[x]}$ ma pierwiastki w ${\displaystyle \mathrm {F} _{9}}$ i jeśli tak, to obliczmy je.

W grupie multyplikatywnej ${\displaystyle \mathrm {F} _{9}^{*}}$ są 4 kwadraty, więc wypiszmy je, podnosząc do kwadratu elementy każdej z 4 par elementów wzajemnie przeciwnych^[g]

${\displaystyle 1^{2}=(-1)^{2}=1}$

${\displaystyle i^{2}=(-i)^{2}=-1}$

${\displaystyle (1+i)^{2}=(-1-i)^{2}=1+2i-1=2i=-i}$

${\displaystyle (1-i)^{2}=(-1+i)^{2}=1-2i-1=-2i=i.}$

Zatem kwadratami są prawe strony tych równości: ${\displaystyle 1,-1,i,-i,}$ a w całym ${\displaystyle \mathrm {F} _{9}}$ jeszcze ${\displaystyle 0.}$

To umożliwia już zastosowanie wzorów na pierwiastki.

${\displaystyle \Delta =\Delta _{2}(a,b,c)=b^{2}-4ac=b^{2}-ac,}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{-a}}=-{\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{a}}={\frac {b\pm {\sqrt {\Delta }}}{a}}.}$

Otrzymane wzory na wyróżnik i pierwiastki

${\displaystyle \Delta =b^{2}-ac,\qquad x_{1,2}={\frac {b\pm {\sqrt {\Delta }}}{a}}}$

stosują się w każdym ciele o charakterystyce 3 (także nieskończonym).

Dla danego wielomianu mamy ${\displaystyle \Delta =i^{2}-i(1+i)=-1-i+1=-i,}$ skąd wnioskujemy, że ma on pierwiastki w ${\displaystyle \mathrm {F} _{9},}$ bo ${\displaystyle -i}$ jest kwadratem. Jako pierwiastek arytmetyczny z wyróżnika weźmy dowolny z pary, np. ${\displaystyle 1+i.}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {i+1+i}{i}}={\frac {1+2i}{i}}=-i(1-i)=-1-i,\quad x_{2}={\frac {i-1-i}{i}}={\frac {-1}{i}}=i}$

i otrzymujemy rozkład wielomianu: ${\displaystyle i(x-i)(x+1+i).}$

Ten przykład przedstawia jedno z zastosowań wyróżnika. Droga do rozwiązania równania kwadratowego wiedzie poprzez obliczenie odpowiedniego wyróżnika i znalezienie jego pierwiastka arytmetycznego.

Przykład 4

Wypiszmy dla wygody rachunków wzór na wyróżnik trójmianu ${\displaystyle D(ax^{n}+bx^{m}+c)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a^{(n-m-1)}c^{(m-1)}\left(n^{n_{1}}a^{m_{1}}c^{n_{1}-m_{1}}+sm^{m_{1}}b^{n_{1}}\right)^{d},}$
gdzie ${\displaystyle d=(n,m),\quad n=n_{1}d,\quad m=m_{1}d,\quad s=(-1)^{n_{1}+1}(n-m)^{n_{1}-m_{1}},}$ i obliczmy wyróżnik trójmianu ${\displaystyle ax^{6}+bx^{3}+c.}$

Mamy tutaj ${\displaystyle n=6,\quad m=3,\quad d=(6,3)=3,\quad n_{1}=2,\quad m_{1}=1,\quad s=-(6-3)^{2-1}=-3,}$ więc

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(ax^{6}+bx^{3}+c)=-a^{2}c^{2}{\big (}6^{2}ac-3\cdot 3^{1}b^{2}{\big )}^{3}=-a^{2}c^{2}{\big (}6^{2}ac-3^{2}b^{2}{\big )}^{3}=-3^{6}a^{2}c^{2}{\big (}4ac-b^{2}{\big )}^{3}\\&=-729a^{2}c^{2}{\big (}64a^{3}c^{3}-48a^{2}b^{2}c^{2}+12ab^{4}c-b^{6}{\big )}\\&=-46656a^{5}c^{5}+34992a^{4}b^{2}c^{4}-8748a^{3}b^{4}c^{3}+729a^{2}b^{6}c^{2}.\end{aligned}}}$

Możemy też skorzystać z pełnego wyróżnika w tabeli z wyróżnikiem wielomianu 6 stopnia. Dostosujmy oznaczenia współczynników danego wielomianu do oznaczeń w tabeli (nie odwrotnie!). ${\displaystyle D(ax^{6}+dx^{3}+g)=\Delta _{6}(a,0,0,d,0,0,g).}$

Po odrzuceniu składników, w których występuje współczynnik ${\displaystyle b,c,e}$ lub ${\displaystyle f,}$ pozostają tylko 4 składniki o numerach porządkowych 1, 5, 37 i 107, a wynik jest identyczny.

Zobacz hasło wyróżnik w Wikisłowniku

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia

• Ernest BorisovichE.B. Vinberg Ernest BorisovichE.B., A Course in Algebra, AlexanderA. Retakh (tłum.), tom 56, Providence, Rhode Islands: American Mathematical Society, 2003 (Graduate Studies in Mathematics), ISBN 0-8218-3318-9, ISSN 1065-7339  (ang.).
• Victor Vasilevich Prasolov: Polynomials. T. 11. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2004, seria: Algorithms and Computation in Mathematics. DOI: 10.1007/978-3-642-03980-5. ISBN 978-3-540-40714-0. LCCN 2009935697. ISSN 1431-1550. (ang.).
• Benjamin Fine, Anthony M. Gaglione, Gerhard Rosenberger: Introduction to Abstract Algebra: From Rings, Numbers, Groups, and Fields to Polynomials and Galois Theory. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2014. ISBN 978-1-4214-1176-7. LCCN 2013937859. (ang.).
• Neal Koblitz: Wykład z teorii liczb i kryptografii. z ang. tłumaczył prof. Wojciech Guzicki, UW. Wyd. 2 ang.,1 pol. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995. ISBN 83-204-1836-4.

• MichałM. Miśkiewicz MichałM., Po co nam ∆?, „Delta”, czerwiec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10] .
• Przemysław Koprowski, Wyróżnik, kanał autorski na YouTube, 12 maja 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial Discriminant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Discriminant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].