Pierwiastek z jedynki-tego stopnia w ciele K – element spełniający równość[1]:
gdzie jest liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało liczb zespolonych [2].
Grupa pierwiastków z jedynki
Zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia tworzy grupę ze względu na mnożenie. Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt
Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych
Istnieje dokładnie różnych pierwiastków stopnia z jedynki w zbiorze liczb zespolonych ; dane są one wzorami de Moivre'a:
,
lub równoważnie
,
Tradycyjnie liczby ustanawia się jednocześnie indeksami poszczególnych pierwiastków z jedynki stopnia .
Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonch nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.
Przykłady
Z powyższych wzorów otrzymujemy:
Pierwiastki 1-go stopnia z jedynki:
Pierwiastki 2-go stopnia z jedynki:
Pierwiastki 3-go stopnia z jedynki:
Pierwiastki 4-go stopnia z jedynki:
Własności
(1) Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki -tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie Realizują one podział tego okręgu na równych części.
(2) Dla wszystkie pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do
(3) Przypadek powyższej tożsamości jest znany pod nazwą tożsamości Eulera:
(4) Grupy pierwiastków z jedności -tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy
gdzie jest ustaloną liczbą pierwszą.
Pierwiastki pierwotne z jedynki
Df.Pierwiastkami pierwotnymi stopnia z jedynki nazywamy te spośród pierwiastków , , które są generatorami grupy, jaką tworzą te pierwiastki. Innymi słowy, wszystkie pozostałe pierwiastki można otrzymać z mnożenia przez siebie generatora odpowiednią ilość razy.
Tw. 1 Dla stopnia pierwiastkiem pierwotnym z jedynki jest na pewno pierwiastek postaci
lub równoważnie, w zapisie wykładniczym
Dowód: Ze wzoru de Moivre'a mamy dla
zaś dla mamy
co dowodzi, że jest najniższym stopniem, dla którego . Oznacza to, że jest pierwotnym pierwiastkiem z jedynki stopnia .
Tw. 2 Pierwiastek stopnia z jedynki o indeksie jest pierwotny, jeżeli liczba jest względnie pierwsza względem stopnia pierwiastka.
Z Tw. 2 wynika stąd, że pierwiastkami prymitywnymi z jedynki są
1-go stopnia:
2-go stopnia:
3-go stopnia:
4-go stopnia:
5-go stopnia:
6-go stopnia:
7-go stopnia:
8-go stopnia:
9-go stopnia:
10-go stopnia:
....
Obliczając liczby pierwiastków dla poszczególnych stopni otrzymamy:
- zgodnie z funkcją Eulera, co wyraża poniższe twierdzenie.
Tw. 3 Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia z jedynki jest równa gdzie jest funkcją Eulera.
Tw. 4 Pierwiastek pierwotny stopnia n z jedynki spełnia równanie algebraiczne stopnia n-1 postaci:
Dowód:
Z twierdzenia o sumowaniu się wszystkich pierwiastków stopnia n mamy
Dokonując przekształceń i podstawiając do równania postać wykładniczą pierwiastka pierwotnego otrzymamy
Ponieważ , to po zamianie kolejności składników sumy na odwrotny otrzymamy tezę, cnd.