Rząd (teoria grup)

Rząd – pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, a symbol ${\displaystyle e}$ będzie oznaczać ich element neutralny.

Rzędem grupy ${\displaystyle (G,\cdot )}$ nazywa się moc zbioru ${\displaystyle G.}$ Jeżeli ${\displaystyle G=\langle g\rangle ,}$ tzn. grupa ${\displaystyle G}$ jest generowana przez element ${\displaystyle g,}$ to rzędem elementu ${\displaystyle g}$ nazywa się rząd grupy ${\displaystyle G}$ (w szczególności odnosi się to do grupy będącej podgrupą innej). Ponieważ ${\displaystyle \langle g\rangle }$ jest grupą cykliczną, to korzystając z jej definicji rząd elementu często określa się w następujący, równoważny sposób: rzędem elementu ${\displaystyle g}$ nazywa się najmniejszą dodatnią liczbę naturalną ${\displaystyle n,}$ która spełnia ${\displaystyle g^{n}=e.}$ Jeśli taka liczba nie istnieje, to przyjmuje się, że rząd elementu ${\displaystyle g}$ jest nieskończony.

Rząd grupy ${\displaystyle G}$ oznacza się symbolami ${\displaystyle \mathrm {ord} (G),\mathrm {o} (G)}$ (od ang. order, tu: „rząd”), ${\displaystyle \mathrm {rz} (G),\mathrm {r} (G)}$ (od „rząd”), bądź ${\displaystyle |G|,\#G}$ (oznaczenia mocy zbioru). Rząd elementu ${\displaystyle g}$ oznacza się zwykle za pomocą czterech pierwszych z ww. symboli, tzn. ${\displaystyle \mathrm {ord} (g),\mathrm {o} (g),\mathrm {rz} (g),\mathrm {r} (g);}$ definicje rzędów elementu i grupy powiązane są zatem następującym wzorem:

${\displaystyle \mathrm {ord} (g)\ {\overset {\underset {\mathrm {df} }{\ }}{=}}\ \mathrm {ord} {\big (}\langle g\rangle {\big )}.}$

Przedstawioną definicję rzędu (jako mocy nośnika grupy) spotyka się zwykle w monografiach, w podręcznikach częstsze jest wykorzystanie liczebności zbioru (pokrywa się z przytoczoną definicją), gdy jest on skończony, w pozostałych przypadkach, bez względu na rodzaj nieskończoności, przyjmuje się, że rząd również jest nieskończony, co dla grupy ${\displaystyle G}$ zapisuje się zwykle ${\displaystyle \mathrm {ord} (G)=\infty }$ i podobnie w przypadku rzędu elementu.

• Rząd grupy trywialnej ${\displaystyle E}$ wynosi ${\displaystyle 1;}$ generowana jest ona przez jedyny jej element ${\displaystyle e,}$ stąd ${\displaystyle \mathrm {ord} (E)=\mathrm {ord} (e)=1}$ i dlatego rząd podgrupy trywialnej, czyli grupy generowanej przez element neutralny, również wynosi ${\displaystyle 1.}$ Ponieważ istnieje tylko jedna podgrupa rzędu ${\displaystyle 1,}$ to element mający rząd ${\displaystyle 1}$ musi być elementem neutralnym.
• Grupa symetryczna ${\displaystyle S_{3}}$ to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru; można ją utożsamiać z grupą diedralną ${\displaystyle D_{3}}$ będącą grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. rysunek obok). Wspomniane grupy mają sześć elementów, zatem ${\displaystyle \mathrm {ord} (S_{3})=\mathrm {ord} (D_{3})=6.}$ Symetrie osiowe trójkąta równobocznego polegają na zamianie dwóch jego wierzchołków, odpowiada to ich permutacjom będącym transpozycjami – są to elementy rzędu drugiego. Obroty tego trójkąta polegają na cyklicznej zmianie miejscami wszystkich wierzchołków, czyli permutacji cyklicznej zmieniającej każdy z nich – są to elementy rzędu trzeciego.
• Choć grupy ${\displaystyle S_{3}}$ i ${\displaystyle D_{3}}$ mają rząd ${\displaystyle 6,}$ to brak w nich elementu o tym rzędzie, jednakże wszystkie elementy w niej zawarte są dzielnikami ${\displaystyle 6.}$ Uwaga ta wynika z obserwacji ogólniejszej natury (zob. twierdzenie Lagrange’a). Inną grupą rzędu ${\displaystyle 6,}$ o strukturze odbiegającej od struktury powyższych grup (tzn. nieizomorficzna z powyższymi; z dokładnością do izomorfizmu istnieją tylko dwie grupy tego rzędu) jest grupa cykliczna rzędu ${\displaystyle 6,}$ która zawiera element tego rzędu.
• Jeżeli każdy element danej grupy, poza neutralnym, jest rzędu ${\displaystyle 2,}$ to dowolne dwa elementy są ze sobą przemienne (grupa jest abelowa)^[1]. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – kontrprzykładem może być wyżej wspomniana grupa cykliczna rzędu ${\displaystyle 6,}$ która jest abelowa, lecz istnieją w niej elementy rzędu ${\displaystyle 3.}$
• Jeżeli rząd dowolnego elementu grupy jest skończony, to nazywa się ją grupą torsyjną. Rzędy elementów grupy skończonej są również skończone, zatem każda grupa skończona jest torsyjna; istnieją jednak grupy torsyjne nieskończonego rzędu, np. grupa ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ pierwiastków z jedynki.

Napisy ${\displaystyle (n,m)}$ oraz ${\displaystyle [n,m]}$ będą oznaczać odpowiednio największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ${\displaystyle n,m.}$

Kluczową własnością rzędu jest następujący fakt:

${\displaystyle g^{k}=e}$ wtedy i tylko wtedy, gdy rząd ${\displaystyle g}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle k}$^[2].

Stąd jeśli ${\displaystyle g}$ ma rząd ${\displaystyle n,}$ to ${\displaystyle g^{k}=g^{l}}$ dla dowolnych liczb całkowitych ${\displaystyle k,l}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle k\equiv l{\bmod {n}}}$^[3]. Jeżeli ${\displaystyle g}$ jest rzędu ${\displaystyle n,}$ to ${\displaystyle g^{k}}$ ma dla dowolnego całkowitego ${\displaystyle k}$ rząd ${\displaystyle {\tfrac {n}{(k,n)}}}$^[4]. Wynikają stąd dwa ważne wnioski: jeśli ${\displaystyle g}$ jest rzędu ${\displaystyle n}$ oraz ${\displaystyle d|n}$ i ${\displaystyle d>0,}$ to ${\displaystyle g^{d}}$ jest rzędu ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}};}$ jeśli ${\displaystyle g}$ jest rzędu ${\displaystyle n}$ oraz ${\displaystyle g^{k}}$ ma rząd ${\displaystyle n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle (k,n)=1}$^[5].

W ogólności niewiele można powiedzieć o rzędzie ${\displaystyle gh}$ na podstawie rzędów ${\displaystyle g}$ oraz ${\displaystyle h}$^[6]. Jeśli jednak elementy te komutują (są przemienne, tzn. ${\displaystyle gh=hg}$), to ich skończony rząd pociąga skończony rząd ich iloczynu^[7]. Jeśli rzędy ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ są ponadto względnie pierwsze, to rząd ich iloczynu jest iloczynem ich rzędów^[8]. Z tej obserwacji wynika, że jeżeli elementy ${\displaystyle g}$ rzędu ${\displaystyle n}$ oraz ${\displaystyle h}$ rzędu ${\displaystyle m}$ komutują, to pewien ich iloczyn ${\displaystyle g^{a}h^{b}}$ ma rząd ${\displaystyle [n,m]}$ – ideą stojącą za tym wnioskiem jest zapisanie ${\displaystyle [n,m]}$ jako iloczynu dwóch względnie pierwszych czynników i znalezieniu wykładników takich ${\displaystyle a,b,}$ by elementy ${\displaystyle g^{a}}$ i ${\displaystyle h^{b}}$ miały rząd równy tym czynników, a ich iloczyn miał rząd równy iloczynowi tych liczb (tu stosuje się poprzednie stwierdzenie), równy z konstrukcji ${\displaystyle [n,m]}$^[9].

Jeśli dowolne dwa elementy grupy komutują, to grupę nazywa się abelową (przemienną). W skończonej grupie abelowej rzędu ${\displaystyle n}$ dla dowolnego elementu ${\displaystyle g}$ zachodzi ${\displaystyle g^{n}=e}$^[10]. Z tego faktu oraz „własności kluczowej” wynika bezpośrednio, iż

każdy element grupy abelowej skończonego rzędu ${\displaystyle n}$ ma rząd dzielący ${\displaystyle n.}$

Wniosek ten jest prawdziwy również w przypadku nieprzemiennym: nosi wtedy nazwę twierdzenia Lagrange’a – jego dowód wymaga jednak innych środków; jego pewnym odwróceniem są twierdzenie Cauchy’ego oraz, ogólniejsze, twierdzenia Sylowa.

Ważnym twierdzeniem mówiącym o rzędach elementów grupy multiplikatywnej ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{*}}$ jest małe twierdzenie Fermata, pomocny jest też wniosek z niego płynący znany jako twierdzenie Eulera.