Medida de Lebesgue

Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$. Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

A medida de Lebesgue em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ é uma função ${\displaystyle \mu :{\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}}$. A família ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$ é compostas por subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

• Seja ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}\,}$, então ${\displaystyle I\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$ e:

${\displaystyle \mu (I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})\,}$

• Em especial:

${\displaystyle \mu (\emptyset )=0\,}$

• Se ${\displaystyle E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$ então ${\displaystyle \bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$ e, ainda:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (E_{j})}$, onde a igualdade ocorre se os conjuntos ${\displaystyle E_{j}\,}$ forem disjuntos dois a dois.

• Se ${\displaystyle E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$ então ${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$.
• Se ${\displaystyle A\subseteq B\,}$ e ${\displaystyle \mu (B)=0\,}$ então ${\displaystyle A\,}$ é mensurável e tem medida zero.
• É invariante por translação, ou seja, se ${\displaystyle A\,}$ é mensurável e ${\displaystyle A_{\lambda }\,}$ é definido como ${\displaystyle A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}\,}$ então ${\displaystyle A_{\lambda }\,}$ é mensurável e :

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{\lambda })\,}$

• Se ${\displaystyle A\,}$ é mensurável e ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ é uma transformação linear, então ${\displaystyle TA:=\{Tx:x\in A\}\,}$ é mensurável e:

${\displaystyle \mu (TA)=|T|\mu (A)\,}$, onde ${\displaystyle |T|\,}$ é o determinante da transformação.

O Wikilivro Medida e integração/A medida de Lebesgue tem uma página intitulada A medida de Lebesgue

• Conjunto de medida zero
• Medida