Métrica de Reissner-Nordström

Em física e astronomia, a métrica Reissner-Nordström é uma solução estática das equações de campo de Einstein no espaço vazio, a qual corresponde ao campo gravitacional de uma corpo esfericamente simétrico de massa M, carregado eletricamente e sem rotação.^[1] Foi desenvolvida por Gunnar Nordström e Hans Reissner, e presta-se ao tratamento dos corpos massivos chamados de buracos negros de Reissner-Nordström. Tal métrica pode se escrita como

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

em que

τ é o "tempo próprio" (tempo medido por um relógio movendo-se coma partícula) em segundos,

c é a velocidade da luz em metros por segundo,

t é a coordenada tempo (medida por um relógio estacionário no infinito) em segundo,

r é a coordenada radial (circunferência de um círculo centrado sobre a estrela divida por 2π) em metros,

θ é a colatitude (ângulo referente ao Norte) em radianos,

φ é a longitude em radianos, e

r_s é o raio de Schwarzschild (em metros) do corpo massivo, o qual é relacionado a sua mass M por

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

onde G é a contante gravitacional, e

r_Q é uma escala de comprimento correspondente à carga elétrica Q da massa

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}}}$

onde 1/4πε₀ é a constante de força de Coulomb.^[2]

No limite que a carga Q (ou equivalentemente, a escala de comprimento r_Q) tenderá a zero, esta tende a métrica de Schwarzschild. A teoria clássica newtoniana da gravidade deve então ser tomada no limite com o raio r_s/r tendendo a zero. No limite, a métrica volta à métrica de Minkowski para a relatividade especial

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$

Na prática, o raio r_s é quase sempre extremamente pequeno. Por exemplo, o raio de Schwarzschild r_s da Terra é aproximadamente 9 mm (³⁄₈  de polegada), onde um satélite em uma órbita geossíncrona tem um raio r que é aproximadamente quatro bilhões de vezes maior, em 42 164 km (26 200 milhas). Quando na superfície da Terra, as correções para a gravitação newtoniana são somente uma parte em um bilhão. O raio somente torna-se grande próximo a buracos negros e outros objetos ultradensos tais como estrelas de nêutrons.

Buracos negros carregados

Ver artigo principal: buraco negro de Reissner-Nordström

Embora buracos negros com ${\displaystyle r_{Q}\ll r_{s}}$ sejam similares a buracos negros de Schwarzschild, eles têm dois horizontes: o horizonte de eventos e um horizonte de Cauchy interno. Como usual, o horizonte de eventos para o espaço-tempo pode ser confiavelmente encontrado pela análise da equação

${\displaystyle g^{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}=0}$

Esta equação quadrática para r tem as soluções

${\displaystyle r_{\pm }={\frac {r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4r_{Q}^{2}}}}{2}}.}$

Estes horizontes concêntricos tornam-se degenerados para ${\displaystyle 2r_{Q}=r_{s}}$ a qual corresponde a um buraco negro extremo. Buracos negros com ${\displaystyle 2r_{Q}>r_{s}}$ acreditam-se não existir na natureza porque eles conteriam uma "singularidade nua"; sua aparência iria contradizer a hipótese da censura cósmica de Roger Penrose a qual geralmente acredita-se ser verdadeira. Teorias com supersimetria usualmente garantem que tais buracos negros "superextremos" não podem existir.

O potencial eletromagnético é

${\displaystyle A_{\alpha }=\left({\frac {Q}{r}},0,0,0\right)}$.

Se monopolos magnéticos são incluídos na teoria, então uma generalização para incluir carga magnética ${\displaystyle P}$ é obtida por substituir ${\displaystyle Q^{2}}$ por ${\displaystyle Q^{2}+P^{2}}$ na métrica e incluir o termo ${\displaystyle P\cos \theta d\phi }$ no potencial eletromagnético.

Referências

Bibliografia

• Reissner, H (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einstein'schen Theorie". Annalen der Physik 50: 106–120.
• Nordström, G (1918). "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory". Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26: 1201–1208.
• Adler, R; Bazin M, and Schiffer M (1965). Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, pp. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, RM (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, pp. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Ligações externas

• «spacetime diagrams» (em inglês). incluindo diagrama de Finkelstein e diagrama de Penrose, por Andrew J. S. Hamilton 
• «"Particle Moving Around Two Extreme Black Holes"» (em inglês). por Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.