| Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: Dodać uogólnienie na funkcję wielu zmiennych. Poprawić zapis (brak LaTeXu). Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.
Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej
Niech
będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:
ma w punkcie
pochodną
oraz
ma w punkcie
pochodną ![{\displaystyle g'(y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf7396ed09c4e15b334912c96f5a2f41ad582a7)
to funkcja złożona
ma w punkcie
pochodną równą
Innymi słowy:
![{\displaystyle (f\circ g)'=(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=(f'\circ g)(x)\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee821fbc3604504ee4e6c94512d0fec38b6fd7b)
Złożenie wielu funkcji
Jeśli funkcja
jest zdefiniowana jako
![{\displaystyle f(x)=(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d96f8d221fcd7498624125f4d63258c043606cb)
to jej pochodna
ma następującą postać:
![{\displaystyle f'(x)=(f_{1}'\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})(x)\cdot (f_{2}'\circ f_{3}\circ \ldots \circ f_{n})(x)\cdot \ldots \cdot f_{n}'(x)=\prod \limits _{i=1}^{n}(f_{i}^{'}\circ f_{i+1}\circ \ldots \circ f_{n})(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b385f8b7bc5f1065e247232146e74809ea9598)
Notacja Leibniza
W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli
to wprowadzając pomocniczą zmienną
na oznaczenie
mamy
i wówczas:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dt}{dx}}\cdot {\frac {dy}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9836e3a5d20db057ab21b112cbfe424dc7afb1)
Przykłady
Przykład 1
![{\displaystyle (\cos x^{3})'=(-\sin x^{3})\cdot (x^{3})'=(-\sin x^{3})\cdot (3x^{2})=-3x^{2}\sin x^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb7b98c1168b4b6b7bc8037448114620049d63e)
Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik
jednak argument cosinusa jest funkcją
zatem wynik cząstkowy
mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli
Przykład 2
![{\displaystyle ((\sin x^{3})^{2})'=2(\sin x^{3})\cdot (\sin x^{3})'=2(\sin x^{3})\cdot (\cos x^{3})\cdot (x^{3})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9471f31485c93fb0cc90a6b09c71700bea84481a)
![{\displaystyle =2(\sin x^{3})\cdot (\cos x^{3})\cdot 3x^{2}=6x^{2}\cos x^{3}\sin x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57b9a9f9be7ae7846d1fb8faf047b9851000aaf)
Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”. Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd
Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną:
Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd
jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną
Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.
Przykład 3
Przykład specjalny, pochodna funkcji
Zauważmy, że:
![{\displaystyle x^{x}=e^{x\ln x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5258c0c675842cd0c289a5b904c134ff36785b46)
skąd
![{\displaystyle (x^{x})'=(e^{x\ln x})'=(e^{x\ln x})\cdot (x\ln x)'=(e^{x\ln x})\cdot (\ln x+{\frac {x}{x}})=x^{x}(\ln x+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1169128260c0bfc648cf27ffed4dbc6eb4867d7)
Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych
Niech
będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:
mają w punkcie
pochodne cząstkowe, oraz
ma w punkcie
pochodne cząstkowe, gdzie ![{\displaystyle u=g(x_{0},y_{0}),v=h(x_{0},y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256779c1f650b1aa605acd3aad0b07c7dcc23932)
to funkcja złożona
ma w punkcie
pochodne cząstkowe równe[1]
![{\displaystyle F'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{u}(u_{0},v_{0})g'_{x}(x_{0},y_{0})+f'_{v}(u_{0},v_{0})h'_{x}(x_{0},y_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d31187d027a14d9b3933f6277d7b3f86755b44)
![{\displaystyle F'_{y}(x_{0},y_{0})=f'_{u}(u_{0},v_{0})g'_{y}(x_{0},y_{0})+f'_{v}(u_{0},v_{0})h'_{y}(x_{0},y_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8296a4a8336a4483d989d2f84e98c11841b8f90)
Uogólnienia
Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami
i
dla pewnych
naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:
Niech
będą przestrzeniami unormowanymi,
będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje
że
Jeśli
jest różniczkowalna w punkcie
to złożenie
jest różniczkowalne w punkcie
oraz
![{\displaystyle d(g\circ f)(x_{0})=dg(f(x_{0}))\circ df(x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653bdbc2e5a2624b6e0a00194507fe0b5dbf7efc)
Przypisy