Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista
której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a[1]:
![{\displaystyle \Delta f\equiv 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024e9498374e9cdbcf80dde5b2c9c2b08eb39703)
gdzie
jest operatorem Laplace’a.
Poniżej piszemy
gdy
oraz oznaczamy
kulę środku
i promieniu
a
sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru
oznaczamy przez
Funkcje sub- i superharmoniczne
Funkcję
nazywamy subharmoniczną, gdy
oraz superharmoniczną, gdy
Własność wartości średniej
Niech
oraz
harmoniczna w
Wówczas:
![{\displaystyle u(x)={\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a7b12c0b7ef86cf1766971353a706407b94e43)
![{\displaystyle u(x)={\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8515c676560e397d7812bc538893b2f4d636d4b2)
Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.
Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:
![{\displaystyle u(x)\leqslant {\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80fa4bded99735652add27d999ea2f39ffadd413)
![{\displaystyle u(x)\leqslant {\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5365e8bd9557e4ff39ca79d7a126d74992ae8e04)
Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych
Niech
będzie otwarty, ograniczony i spójny,
oraz u subharmoniczna w
Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie
tj.
Wówczas
dla każdego
Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu
Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru
Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej
Funkcję
nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli
i każdej funkcji harmonicznej
ciągłej na
i takiej, że
spełnione jest
na całej kuli
Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy
obie definicje są równoważne.
Przykłady
Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:
![{\displaystyle \Gamma (x-y)={\begin{cases}{\frac {1}{(2-n)|S^{n-1}(0,1)|}}|x-y|^{2-n}&n>2\\{\frac {1}{2\pi }}{\log {|x-y|}}&n=2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7622c107bb25893627c9a5314a928d719fc025b6)
gdzie
oznacza wymiar przestrzeni. Dla
mamy
Zobacz też
Przypisy
- ↑ funkcja harmoniczna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-06] .
Bibliografia
- Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, Warszawa.
- Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, Łódź.