Arytmetyka liczb kardynalnych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami kardynalnymi i działaniami na nich.
Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki liczb rzeczywistych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości (aksjomaty Zermela-Fraenkla).
W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).
Definicje
Pojęcia wstępne
- Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
- Przy założeniu teorii ZFC każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez
- Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
- Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej to najmniejsza liczba kardynalna taka, że każdy zbiór mocy może być przedstawiony jako suma wielu zbiorów mocy mniejszej niż
- dla pewnych zbiorów takich, że (dla wszystkich )
- Jeśli to mówimy że jest regularną liczbą kardynalną. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.
- Następnik liczby kardynalnej to pierwsza liczba kardynalna większa od (jest on oznaczany przez ).
Działania dwuargumentowe
Określamy następujące działania dwuargumentowe na liczbach kardynalnych. Niech będą liczbami kardynalnymi.
- Dodawanie liczb kardynalnych – sumą liczb i nazywamy moc sumy rozłącznych kopii i
- Mnożenie liczb kardynalnych – iloczynem liczb i nazywamy moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów i
- Potęgowanie liczb kardynalnych – przez rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z w
- Definiujemy również słabą potegę jako
Działania nieskończone
Niech będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy
- sumę oraz
- produkt
Przykłady wyników klasycznych
- Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych mamy:
- Jeśli to
- Jeśli to oraz
- Jeśli to oraz
- jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów Jeśli oraz jest nieskończona, to oraz
- i
- Jeśli są nieskończone, to (twierdzenie Hausdorffa).
- Jeśli jest nieskończone, to oraz
- Przypuśćmy, że są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych,
- Jeśli więc to Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy dla różnych
- Jeśli dla wszystkich to (twierdzenie Königa).
GCH i SCH
- Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej zachodzi . Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:
- Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych oraz mamy
| | | | | jeśli | | | | | | | | jeśli | | | | |
| | | | | jeśli | | | oraz | | | | | jeśli | | | |
| | | | | jeśli | | | | | | | | jeśli | | | |
- Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję
- Załóżmy SCH. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych mamy
| | | | | jeśli | | oraz | | |
| | | | | jeśli | | oraz | | |
| | | | | jeśli | | | |
- Ponadto, jeśli jest liczbą singularną to
- (a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej mamy iż to
- (b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to
- Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. Ciekawym[według kogo?] wynikiem odkrytym[przez kogo?] niedawno[kiedy?] jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.
Przykłady wyników zaawansowanych
- Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William Easton[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych
- Jeśli jest liczbą mierzalną oraz dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej to również
- Jeśli zbiór jest stacjonarny w to
- Jeśli oraz zbiór jest stacjonarny w to
- W latach 90. XX wieku Saharon Szelach[2] rozwinął teorię PCF, która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że
- W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego[3] lub monografia Thomasa Jecha[4] lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza[5]
Przypisy
- ↑ Easton, William B.: Powers of regular cardinals. „Ann. Math. Logic” 1 (1970), s. 139–178.
- ↑ Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. „Oxford Logic Guides”, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853785-9.
- ↑ Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.
- ↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2.
- ↑ Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: Introduction to cardinal arithmetic. „Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. ISBN 3-7643-6124-7.
główne | |
---|
dyscypliny z arytmetyką w nazwie | |
---|
działy ogólne | według trudności | |
---|
według celu | |
---|
inne | |
---|
|
---|
działy czyste | |
---|
działy stosowane | |
---|
powiązane zajęcia | |
---|