Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.
Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione , duplicazione , addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.
Tavola delle espressioni Valori esatti di seno e coseno per angoli multipli di 3 gradi. I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.
0° - valori fondamentali sin 0 ∘ = 0 {\displaystyle \sin 0^{\circ }=0} cos 0 ∘ = 1 {\displaystyle \cos 0^{\circ }=1} tan 0 ∘ = 0 {\displaystyle \tan 0^{\circ }=0}
3° - Esacontagono (60 lati) sin π 60 = sin 3 ∘ = 2 5 + 5 ( 1 − 3 ) + 2 ( 5 − 1 ) ( 3 + 1 ) 16 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}} cos π 60 = cos 3 ∘ = 2 5 + 5 ( 1 + 3 ) + 2 ( 5 − 1 ) ( 3 − 1 ) 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}} tan π 60 = tan 3 ∘ = [ ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] ( 2 − 2 ( 5 − 5 ) ) 4 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
6° - Triacontagono (30 lati) sin π 30 = sin 6 ∘ = 6 ( 5 − 5 ) − ( 5 + 1 ) 8 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}} cos π 30 = cos 6 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) + 3 ( 5 + 1 ) 8 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}} tan π 30 = tan 6 ∘ = ( 5 − 2 5 ) ( 5 + 1 ) + 3 ( 1 − 5 ) 2 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {(}}5-2{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{2}}}
9° - Icosagono (20 lati) sin π 20 = sin 9 ∘ = − 2 5 − 5 + 2 ( 5 + 1 ) 8 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}} cos π 20 = cos 9 ∘ = + 2 5 − 5 + 2 ( 5 + 1 ) 8 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}} tan π 20 = tan 9 ∘ = − 5 − 2 5 ( 2 + 5 ) + ( 5 + 1 ) {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\;(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}
12° - Pentadecagono (15 lati) sin π 15 = sin 12 ∘ = 2 ( 5 + 5 ) − 3 ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}} cos π 15 = cos 12 ∘ = 6 ( 5 + 5 ) + ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+({\sqrt {5}}-1)}{8}}} tan π 15 = tan 12 ∘ = 5 − 2 5 ( 2 + 5 ) + ( 5 + 1 ) 2 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}{2}}}
15° - Dodecagono (12 lati) sin π 12 = sin 15 ∘ = 2 ⋅ ( 3 − 1 ) 4 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)}{4}}} cos π 12 = cos 15 ∘ = 2 ⋅ ( 3 + 1 ) 4 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)}{4}}} tan π 12 = tan 15 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}} cot π 12 = cot 15 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}}
18° - Decagono (10 lati) sin π 10 = sin 18 ∘ = 5 − 1 4 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} cos π 10 = cos 18 ∘ = 2 ( 5 + 5 ) 4 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}} tan π 10 = tan 18 ∘ = 5 ( 5 − 2 5 ) 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}} cot π 10 = cot 18 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
21° = 9° + 12° sin 7 π 60 = sin 21 ∘ = 2 5 − 5 ( 3 + 1 ) − 2 ( 3 − 1 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}+1)-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}} cos 7 π 60 = cos 21 ∘ = 2 5 − 5 ( 3 − 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}-1)+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}} tan 7 π 60 = tan 21 ∘ = 5 − 2 5 ( 1 + 2 3 − 5 ) + ( 2 + 3 ) ( 5 − 3 ) + 2 2 {\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}}
22.5° - Ottagono (8 lati) sin π 8 = sin 22.5 ∘ = 2 − 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} cos π 8 = cos 22.5 ∘ = 2 + 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} tan π 8 = tan 22.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1} cot π 8 = cot 22.5 ∘ = 2 + 1 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1}
24° = 12° + 12° sin 24 ∘ = 2 ( 5 + 5 ) ( 1 − 5 ) + 2 3 ( 1 + 5 ) ) 16 {\displaystyle \sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,(1-{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}}))}{16}}} cos 24 ∘ = 6 ( 5 + 5 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 1 + 5 ) ) 16 {\displaystyle \cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}\,({\sqrt {5}}-1)+2(1+{\sqrt {5}}))}{16}}} tan 24 ∘ = ( 10 + 2 5 − 2 3 ) ( 3 + 5 ) 4 {\displaystyle \tan 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {3}}\right)\,(3+{\sqrt {5}})}{4}}} cot 24 ∘ = ( 10 + 2 5 + 2 3 ) ( 5 − 1 ) 4 {\displaystyle {\mbox{cot}}\,24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+2{\sqrt {3}}\right)\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}}
27° = 12° + 15° sin 27 ∘ = 2 5 + 5 + 2 ( 1 − 5 ) 8 {\displaystyle \sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}} cos 27 ∘ = 2 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle \cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}} tan 27 ∘ = − 5 − 2 5 + ( 5 − 1 ) {\displaystyle \tan 27^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)}
30° - Esagono (6 lati) sin π 6 = sin 30 ∘ = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}} cos π 6 = cos 30 ∘ = 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}} tan π 6 = tan 30 ∘ = 3 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}} cot π 6 = cot 30 ∘ = 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}}
33° = 15° + 18° sin 33 ∘ = 2 5 + 5 ( − 1 + 3 ) + 2 ( 5 − 1 ) ( 1 + 3 ) 16 {\displaystyle \sin 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(-1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1+{\sqrt {3}})}{16}}} cos 33 ∘ = 2 5 + 5 ( + 1 + 3 ) + 2 ( 5 − 1 ) ( 1 − 3 ) 16 {\displaystyle \cos 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(+1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1-{\sqrt {3}})}{16}}} tan 33 ∘ = 5 ( 5 − 2 5 ) ( − 15 + 10 3 − 7 5 + 4 15 ) + 5 ( ( − 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) + 2 ) 10 {\displaystyle \tan 33^{\circ }={\frac {{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,\left(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}\right)+5\left((-2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})+2\right)}{10}}}
36° - Pentagono (5 lati) sin π 5 = sin 36 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) 4 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}} cos π 5 = cos 36 ∘ = 5 + 1 4 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} tan π 5 = tan 36 ∘ = 5 − 2 5 ) {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}})}}}
39° = 18° + 21° sin 39 ∘ = 2 5 − 5 ( 1 − 3 ) + 2 ( + 1 + 3 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle \sin 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}(+1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}} cos 39 ∘ = 2 5 − 5 ( 1 + 3 ) + 2 ( − 1 + 3 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle \cos 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}\,(-1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}} tan 39 ∘ = ( 2 ( 5 + 5 ) − 2 ) ( ( 2 − 3 ) ( − 3 + 5 ) + 2 ) 4 {\displaystyle \tan 39^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right)\left((2-{\sqrt {3}})(-3+{\sqrt {5}})+2\right)}{4}}}
42° = 21° + 21° sin 42 ∘ = 6 ( 5 − 5 ) ( 1 + 5 ) + 2 ( 1 − 5 ) 16 {\displaystyle \sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2(1-{\sqrt {5}})}{16}}} cos 42 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) ( 1 + 5 ) + 2 3 ( − 1 + 5 ) 16 {\displaystyle \cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(-1+{\sqrt {5}})}{16}}} tan 42 ∘ = − 1 − 2 1 ( 3 + 5 ) + 3 ( 1 + 5 ) 2 {\displaystyle \tan 42^{\circ }={\frac {-{\sqrt {1-2{\sqrt {1}}}}\;(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}})}{2}}}
45° - Quadrato (4 lati) sin π 4 = sin 45 ∘ = 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}} cos π 4 = cos 45 ∘ = 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}} tan π 4 = tan 45 ∘ = 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1} cot π 4 = cot 45 ∘ = 1 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1}
Note
Uso delle costanti Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:
V = 5 e 3 cos 36 ∘ / tan 2 36 ∘ {\displaystyle V=5e^{3}\cos 36^{\circ }/\tan ^{2}36^{\circ }} Usando
cos 36 ∘ = 5 + 1 4 {\displaystyle \cos \,36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} tan 36 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \tan \,36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} l'espressione precedente può essere semplificata nella:
V = e 3 ( 15 + 7 5 ) 4 {\displaystyle V={\frac {e^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{4}}} .
La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V , il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C ), 90° (vertice M ) e 90°-180°/N (vertice V ).
Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.
Costruibili Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,... 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati) 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati) 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati) 82.5°-7.5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati) 86.25°-3.75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati) ... 4*2X lati 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati) 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati) 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati) ... 5*2X lati 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati) 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati) 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati) 85.5°-4.5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati) 87.75°-2.25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati) ... 15*2X lati 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati) 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati) 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati) 88.5°-1.5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati) 89.25°-0.75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati) ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...) Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note. 9*2X lati 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati) 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati) 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati) 87.5°-2.5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati) ... 45*2X lati 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati) 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati) 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati) 89.5°-0.5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati) ...
Espressioni non singole La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio , non è banale e non sempre può essere effettuata.
Esempio:
4 sin 18 ∘ = 2 ( 3 − 5 ) = 5 − 1 {\displaystyle 4\sin 18^{\circ }={\sqrt {2(3-{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1} Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha
a + b c = d + e c se a 2 − b 2 c {\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}\quad {\mbox{se}}\quad a^{2}-b^{2}c} è un quadrato perfetto
Voci correlate
Collegamenti esterni Poligoni costruibili , su mathworld.wolfram.com . Poligoni regolari costruibili , su mathforum.org . URL consultato il 17 luglio 2004 (archiviato dall'url originale il 12 aprile 2008) . Nomenclatura dei poligoni , su mathforum.org . Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica