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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite[1] (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810[2],[3], et par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités, et apparaissent aussi en 1859 dans un article de Pafnouti Tchebychev[4], cinq ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
Ces polynômes apparaissent dans de nombreux champs d'application :
traitement du signal dans les ondelettes hermitiennes (en) en analyse par transformée en ondelettes ;
probabilité, comme dans les séries d'Edgeworth, ou dans l'étude du mouvement brownien ;
combinatoire, comme exemple de suite d'Appell, suivant le calcul ombral ;
Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :
On peut démontrer que dans Hp les coefficients d'ordre ayant la même parité que p – 1 sont nuls et que les coefficients d'ordre p et p – 2 valent respectivement 1 et –p(p – 1)⁄2.
Propriétés
Orthogonalité
Le polynôme Hp est de degré p. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité
Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.
Propriétés de récurrence
Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique) :
Les polynômes d'Hermite vérifient également la relation de récurrence suivante :
En outre, ils satisfont la propriété :
Démonstration
On fait la démonstration avec la forme physique. D'après la formule de Leibniz :
ce qui, multiplié par le facteur gaussien, donne :
Ce qui est une des propriétés de récurrence recherchées.
On dérive ensuite l'expression , ce qui donne :
De ce qui précède, on tire , ce qui nous permet enfin de passer la propriété de récurrence déjà trouvée à l'autre.
Le résultat pour la forme mathématique s'obtient par un changement de variables.
Un développement de Taylor à l'ordre de autour de donne les formules suivantes :
Fonctions d'Hermite-Gauss
Les polynômes d'Hermite interviennent dans la définition des fonctions d'Hermite-Gauss, utiles en physique quantique ou en optique :
et la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite pour la mesure (démontrée plus haut) assure que, en prenant , les fonctions d'Hermite-Gauss forment bien une famille orthonormale dans :
Les fonctions d'Hermite vérifient l'équation différentielle , et elles héritent des polynômes d'Hermite les propriétés de récurrence :
.
Enfin, cette famille de fonctions présente un autre intérêt majeur dans le cadre de l'analyse de Fourier : en notant la transformation de Fourier (avec la convention ), elle forme une base hilbertienne de formée de vecteurs propres de :
On notera que cette formule n'est exacte qu'en prenant le polynôme d'Hermite sous sa forme physique, et avec la convention de transformation de Fourier explicitée ci-dessus. En utilisant une autre convention, les valeurs propres changent : par exemple avec on obtiendra . La forme fréquentielle de la transformée de Fourier sera plus volontiers diagonalisable avec des fonctions légèrement modifiées, , pour lesquelles on aura .
Notes et références
↑C. Hermite, « Sur un nouveau développement en série de fonctions », C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 58, , p. 93–100, 266-273 (lire en ligne), reproduit in ŒuvresII, 293–308.
↑P.-S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, vol. 2, , 194–203 p. (lire en ligne)
↑P. L. Chebyshev, « Sur le développement des fonctions à une seule variable », Bull. Acad. Sci. St. Petersb., vol. 1, , p. 193–200, reproduit in ŒuvresI, 501–508.
↑(en) Bibhuti Bhusan Saha, « On a generating function of Hermite polynomials », Yokohama Mathematical Journal, , p. 73-76 (lire en ligne)