Inégalité de Bonnesen
En mathématiques, l'inégalité de Bonnesen[1],[2] est un raffinement de l'inégalité isopérimétrique dans le plan euclidien. Elle énonce qu'une surface S d'aire A et de longueur L vérifie l'inégalité
où r et R sont respectivement les rayons du cercle inscrit[3] et du cercle circonscrit[4] à cette surface S.
L'inégalité de Bonnesen généralise l'inégalité isopérimétrique car elle implique cette dernière. En effet, d'après l'inégalité de Bonnesen,
car R ≥ r. On retrouve bien l'inégalité isopérimétrique
L'inégalité de Bonnesen est nommée en l'honneur de Tommy Bonnesen (en) qui fut le premier à établir cette inégalité[5].
Démonstration
La démonstration présentée ici, due à Hugo Hadwiger[6], montre un résultat un peu plus précis: les deux rayons r et R sont situés entre les deux racines de la fonction polynomiale du second degré qui à t associe l'aire de la surface S + tB où tB est la boule de rayon t centrée en l'origine.
- La valeur –r est d'image négative par le polynôme qui, à t associe l'aire de la surface S + tB :
On considère un compact convexe non vide S, un cercle inscrit, de rayon r et un cercle circonscrit C de rayon R. Cette situation est illustrée sur la figure de gauche, le compact convexe est le carré violet, le cercle C est illustré en bleu et le cercle inscrit en vert. La technique utilisée consiste à considérer la zone bleue Z correspondant aux points de C qui ne sont pas dans S. La surface Z + rB est doublement mesurée, les symboles rB désignent ici la boule de rayon r et de centre le vecteur nul. Cette figure recouvre intégralement S et définit un disque de rayon R + r, illustré en jaune. On en déduit une première égalité :
On découpe alors la surface Z en deux par une droite Δ passant par les centres des deux cercles inscrit et circonscrit. La partie supérieure de Z est notée Zs, comme indiquée sur l'illustration à droite. La somme de Minkowski de Zs et de rB correspond, dans la partie supérieure à la droite Δ, à un demi-disque, de rayon R + r. Si l1 et l2 sont les longueurs des deux intersections de Z avec Δ (voir la figure), l'intersection de la somme avec la partie inférieure à la droite Δ possède une aire égale à πr2 + (l1 + l2)r. On en déduit l'égalité :
Il est aussi possible d'évaluer cette aire à l'aide de la formule de Steiner-Minkowski. Comme Zs n'est pas convexe, la formule est une majoration et non pas une égalité :
Ici ps désigne la longueur de la partie supérieure de la frontière de S. On peut appliquer exactement le même raisonnement à la partie inférieure à la droite Δ. En utilisant l'indice i pour décrire la partie inférieure, on obtient :
En sommant les deux majorations :
Le périmètre p de S est en effet la somme de ps et de pi. L'aire de Z est aussi égale à la différence de l'aire d'un disque de rayon R avec l'aire a de S, ce qui donne :
La dernière majoration signifie que -r est d'image négative par le polynôme associant à t l'aire de S + tB.
- La valeur –R est d'image négative par le polynôme qui, à t associe l'aire de la surface S + tB :
On applique exactement le même raisonnement que le précédent en remplaçant le coefficient r par R, le rayon du cercle circonscrit (R n'est-il pas trop grand pour que cela soit possible ?). On obtient la majoration :
ce qui démontre la proposition.
- L'inégalité de Bonnesen est vérifiée :
Dire que –r et –R ont une image négative par le polynôme revient à dire que ces valeurs se trouvent entre les racines :
Cela signifie aussi que la distance qui sépare R et r est plus petite que le rapport entre le discriminant et π :
Références
- ↑ Yu. D. Burago et V. A. Zalgaller, Geometric Inequalities, vol. 285, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] », , 3–4 p. (ISBN 3-540-13615-0, DOI 10.1007/978-3-662-07441-1, MR 936419, zbMATH 0633.53002)
- ↑ Bernard Teissier, « Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre », sur Institut de mathématiques de Jussieu
- ↑ Un cercle est dit inscrit dans la surface S s'il est inclus dedans et si son rayon r est maximal.
- ↑ Un cercle est dit circonscrit à la surface S s'il la contient et si son rayon R est minimal.
- ↑ T. Bonnesen, « Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d'une inégalité de Minkowski », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 172, , p. 1087–1089 (JFM 48.0839.01, lire en ligne)
- ↑ (de) H. Hadwiger, Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Berlin, Springer, .
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