En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.
Définition formelle
Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par
pour toute valeur de [1], la notation désignant l’inverse généralisé à gauche de .
Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors est l'unique valeur de telle que . correspond alors à la fonction réciproque[1] de , notée . En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.
Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :
La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que soit :
Les quartiles sont donc :
premier quartile (p = 1/4):
médiane (p = 2/4) :
troisième quartile (p = 3/4) :
De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :
loi de Cauchy de paramètres x0 et a
loi logistique de paramètres μ et s
loi de Laplace
Loi de Tukey-lambda
La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :
Notes et références
↑ a et b(en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, , 461 p. (ISBN978-0-387-40272-7, lire en ligne), définition 2.16, page 25.