Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble E vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

${\displaystyle d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$.

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique^[1].

Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application ${\displaystyle d:\mathrm {E} \times \mathrm {E} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom	Propriété
symétrie	${\displaystyle \forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=d(y,x)}$
séparation	${\displaystyle \forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$
inégalité ultratriangulaire[2]	${\displaystyle \forall x,y,z\in \mathrm {E} ,\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).

Distance triviale

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\1&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$

L'inégalité

${\displaystyle d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble ℚ

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique ${\displaystyle v_{p}(r)}$ de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

${\displaystyle v_{p}(r+r')\geq \inf(v_{p}(r),v_{p}(r'))}$ et ${\displaystyle v_{p}(-r)=v_{p}(r).}$

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\p^{-v_{p}(x-y)}&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$

La propriété précédente de ${\displaystyle v_{p}}$ conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ^[3].

Autres exemples

• Soient X un ensemble quelconque et E = X^ℕ l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posant${\displaystyle k(x,y)=\inf\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\neq y_{n}\}}$ (autrement dit : ${\displaystyle k(x,x)=+\infty }$ et si ${\displaystyle x\neq y}$, ${\displaystyle k(x,y)}$ est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{1+k(x,y)}}}$^[4],[5]ou encore, pour un réel ${\displaystyle a>1}$ arbitraire :${\displaystyle d_{a}(x,y)=a^{-k(x,y)}}$^[6],qui est une distance uniformément équivalente à ${\displaystyle d}$.Pour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = ℕ, l'espace de Baire.
• En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.^{[réf. souhaitée]}

Propriétés

Voici quelques propriétés^[7] d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

• Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :

  ${\displaystyle B(a,r)\cap B(a',r')\neq \varnothing {\text{ et }}r\leq r'\Rightarrow B(a,r)\subset B(a',r')}$.

• Tout point d'une boule en est un centre :

  ${\displaystyle \forall x\in B(a,r)\quad B(x,r)=B(a,r)}$.

• Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :

  Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

  Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

• Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux^[8] », ce qui s'écrit aussi :

  ${\displaystyle d(x,y)\neq d(y,z)\Rightarrow d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z))}$.

• Pour qu'une suite ${\displaystyle (x_{n})}$ soit de Cauchy, il suffit que ${\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})\to 0.}$

Application

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique^[9].

Voir aussi

• Norme ultramétrique
• Valeur absolue ultramétrique

Notes et références

• Portail des mathématiques
• Portail de la géométrie