Kelebek teoremi

Kelebek teoremi

Kelebek teoremi, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir:[1] :s. 78

M, bir çemberin başka iki AB ve CD kirişi üzerinden geçen PQ kirişinin orta noktası olsun, buna bağlı olarak AB ve CD, PQ kirişini X ve Y noktalarında keser. O halde M, XY'nin orta noktasıdır.

Teoremin ispatı

Kelebek teoreminin ispatı

Teoremin biçimsel bir ispatı aşağıdaki gibidir: XX′ ve XX″ dikmeleri X noktasından sırasıyla AM ve DM düz çizgileri üzerine indirilsin. Benzer şekilde, YY′ ve YY″, Y noktasından sırasıyla BM ve CM düz çizgilerine dik indirilsin.

△ M X X ′ ∼ △ M Y Y ′ , {\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',} olduğundan
M X M Y = X X ′ Y Y ′ , {\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}
△ M X X ″ ∼ △ M Y Y ″ , {\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}
M X M Y = X X ″ Y Y ″ , {\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}
△ A X X ′ ∼ △ C Y Y ″ , {\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}
X X ′ Y Y ″ = A X C Y , {\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}
△ D X X ″ ∼ △ B Y Y ′ , {\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}
X X ″ Y Y ′ = D X B Y . {\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}

Önceki denklemlerden ve kesişen kirişler teoreminden,

( M X M Y ) 2 = X X ′ Y Y ′ X X ″ Y Y ″ , {\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}
= A X ⋅ D X C Y ⋅ B Y , {\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}
= P X ⋅ Q X P Y ⋅ Q Y , {\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}
= ( P M − X M ) ⋅ ( M Q + X M ) ( P M + M Y ) ⋅ ( Q M − M Y ) , {\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}
= ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ( P M ) 2 − ( M Y ) 2 , {\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}

PM = MQ olduğundan,

Böylece

( M X ) 2 ( M Y ) 2 = ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ( P M ) 2 − ( M Y ) 2 . {\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}

İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,

( M X ) 2 ⋅ ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ⋅ ( M Y ) 2 = ( M Y ) 2 ⋅ ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ⋅ ( M Y ) 2 . {\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}

Ortak terim olan

− ( M X ) 2 ⋅ ( M Y ) 2 {\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}

ifadesi elde edilen denklemin her iki tarafından sadeleştirilirse,

( M X ) 2 ⋅ ( P M ) 2 = ( M Y ) 2 ⋅ ( P M ) 2 , {\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},}

elde edilir, dolayısıyla MX = MY, çünkü MX, MY ve PM hepsi pozitif, gerçek sayılardır.

Bu nedenle, M, XY'nin orta noktasıdır.

Projektif geometri kullanan biri[2] de dahil olmak üzere başka ispatlar da mevcuttur.[3]

Tarihçe

Kelebek teoremini kanıtlamak William Wallace tarafından The Gentlemen's Mathematical Companion’da (1803) bir problem olarak ortaya atıldı. 1804'te üç çözüm yayınlandı ve 1805'te Sir William Herschel, Wallace'a yazdığı bir mektupta soruyu tekrar sordu. Thomas Scurr, aynı soruyu 1814'te Gentlemen's Diary veya Mathematical Repository’de tekrar sordu.[4]

Dış bağlantılar

  • Geogebra - Butterfly Theorem
  • Cut-the-knot'da Kelebek Teoremi 10 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Cut-the-knot'da Daha İyi Bir Kelebek Teoremi 11 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • PlanetMath'te Kelebek Teoreminin Kanıtı 25 Ağustos 2002 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Wolfram Gösterimleri Projesi, Jay Warendorff'un Kelebek Teoremi 23 Aralık 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
  • Weisstein, Eric W., MathWorld - Kelebek Teoremi 18 Mart 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..

Konuyla ilgili yayınlar

  • Volenec, V. (2000). A generalization of the butterfly theorem. Mathematical Communications, 5(2), ss. 157-160.
  • Čerin, Z. (2001). A generalization of the butterfly theorem from circles to conics. Mathematical Communications, 6(2), ss. 161-164.
  • Sliepcevic, A. (2002). A new generalization of the butterfly theorem. Journal for Geometry and Graphics, 6(1), ss. 61-68.
  • Volenec, V. (2002). The butterfly theorem for conics. Mathematical Communications, 7(1), ss. 35-38.
  • Kung, S. (2005). A butterfly theorem for quadrilaterals. Mathematics Magazine, 78(4), ss. 314-316.
  • Čerin, Z., & Gianella, G. M. (2006). On improvements of the butterfly theorem. Far east journal of mathematical sciences: FJMS, 20(1), 69.
  • Jun-lin, Y. A. N. G. (2009). Version of butterfly theorem under projective transformation. Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science), 4.
  • Markowsky, G. (2011). Pascal's Hexagon Theorem Implies the Butterfly Theorem. Mathematics Magazine, 84(1), ss. 56-62.
  • Dergiades, N., & Lim, S. H. (2012). The Butterfly Theorem Revisited. In Forum Geometricorum (Vol. 12, ss. 301-304).
  • Donolato, C. (2016). A proof of the butterfly theorem using Ceva’s theorem. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 185-186).
  • Celli, M. (2016). A proof of the butterfly theorem using the similarity factor of the two wings. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 337-338).
  • Hung, T. Q. (2016). Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle. In Forum Geometricorum (Vol. 16, ss. 345-346).
  • Krishna, Dasari. (2017). Another New Proof of the Butterfly Theorem. International journal of mathematics and its applications. 5. ss. 1-55.
  • Nguyen, N. P. (2020). On Generalizations of the Butterfly Theorem. arXiv preprint arXiv:2001.07201.

Kaynaklar

  1. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  2. ^ Problems in Projective Geometry 6 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., problem 8.
  3. ^ Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", Forum Geometricorum 16, 2016, ss. 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf 24 Nisan 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  4. ^ William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem 25 Ağustos 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.