Cauchy tekrarlı integrasyon formülü

Adını Augustin-Louis Cauchy'den alan tekrarlı entegrasyon için Cauchy formülü, bir fonksiyonun n antitürevini tek bir integrale sıkıştırmaya izin verir. Formülün tam sayılardan reel sayılara genişletilmesiyle tam sayı olmayan kere integral alma olanağı verdiğinden kesirli analiz için önemlidir^[1]

f, gerçel sayılar doğrusu üzerinde sürekli bir fonksiyon olsun. O halde f fonksiyonunun (eğer f(a)=0 ise) n. mertebe integrali,

${\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$

şu şekilde tek bir integrale dönüştürülebilir:

${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

Tümevarım yoluyla bir kanıt verilir. Temel durum n=1 için doğruluk açıktır, çünkü şuna eşdeğerdir:${\displaystyle f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

Şimdi bunun n için doğru olduğunu varsaydığımızda n+1 için de doğru olacağını ispatlayalım. İlk olarak Leibniz integral kuralını uygularsak,${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

Ardından, tümevarım hipotezini uygulayarak,

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Böylece ispat tamamlanmış olur.

Cauchy formülü tam sayı olmayan parametrelere genişletilerek Riemann-Liouville integrali elde edilir. burada ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ifadesi ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0}$ ile değiştirilir ve faktöriyel, gama fonksiyonu ile değiştirilir.

Kesirli analizde bu formül diferintegral oluşturmak için kullanılır. Bu, herhangi bir mertebede türev veya integral almak için kullanılabilen bir operatördür.