Z-transform
![]() | Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Z-transformen används inom matematik och signalbehandling för att konvertera tidsdiskreta signaler (en sekvens av reella eller komplexa tal) till en komplexvärd representation i frekvensdomänen. Z-transformen är nära besläktad med fouriertransformen.
Z-transformen motsvaras i den tidskontinuerliga domänen av laplacetransformen.
Definition
Z-transformen av en signal är funktionen och definieras som
där är ett heltal och är ett komplext tal.
Om skall konverteras endast för icke-negativa värden av n, kan Z-transformens definition skrivas
Den senare kallas ibland för den enkelsidiga Z-transformen och den förra dubbelsidig. Inom signalbehandling används den enkelsidiga om signalen är kausal.
Egenskaper
- Linearitet. Z-transformen av en linjärkombination av två signaler är lika med linjärkombinationen av de två individuella Z-transformerna:
- Tidsförskjutning av signalen med steg är detsamma som att multiplicera Z-transformen(gäller endast för dubbelsidiga) med .
- Faltning. Z-transformen av faltningen av två sekvenser är produkten av de två individuella Z-transformerna.
- Derivering.
Den inversa Z-transformen kan beräknas som
där är en sluten kurva kring origo som ligger innanför :s konvergensradie.
Den diskreta fouriertransformen är ett specialfall av Z-transformen med .
Tillämpningar
Z-transformen kan användas för att lösa vissa differensekvationer. En differensekvation på formen
där a1, ..., al, b är konstanter, kan, om man antar att Z-transformen av x är X, transformeras till
som man sedan kan bryta ut X ur:
Detta uttryck kan sedan inverstransformeras medelst exempelvis partialbråksuppdelning och tabell eller residykalkyl för att erhålla x.
Se även
- Genererande funktion