Ptolemaios sats är en sats inom euklidisk geometri om sambandet mellan de fyra sidorna och de två diagonalerna i en cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel). Satsen är uppkallad efter den grekiske astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios som beskrev den i Almagest bok 1, kapitel 10.[1] Ptolemaios utnyttjade satsen för att beräkna kordor till en tabell som han använde i sitt astronomiska arbete. Satsen säger:
Om en fyrhörning är cyklisk så är produkten av diagonalernas längder lika med summan av produkterna av de motstående sidornas längder. För den cykliska fyrhörningen (se figur till höger) gäller alltså:[2]
Omvändningen till satsen gäller också: Om produkten av en fyrhörnings diagonaler är lika med summan av produkterna av de motstående sidorna, så är fyrhörningen cyklisk.
Bevis
Ptolemaios sats kan bevisas på flera olika sätt.
Bevis med likformiga trianglar (Ptolemaios metod)
Vi har en cyklisk fyrhörning . I en sådan är vinkeln mellan en sida och en diagonal lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen. Alltså är (blå) och (grön) i figur 1. Välj punkten på så att (orange). Eftersom så är . Vi har nu två par av likformiga trianglar: dels och (figur 2) och dels och (figur 3). Eftersom trianglarna är likformiga får vi ur figur 2 att
och ur figur 3 får vi på samma sätt att
Genom att addera dessa två uttryck får vi
Men , vilket ger
Ett trigonometriskt bevis
Om vi med avser den omskrivna cirkelns medelpunkt, med dess radie och med , och avser de tre vinklarna , respektive i figuren till höger ser vi att:
,
,
,
,
och
Formeln i satsen kan alltså, efter att vi förkortat bort , skrivas som:
Genom att använda additionsformlerna och samt trigonometriska ettan i formen fås att båda sidor är lika med
och satsen är därmed bevisad.
Referenser
^Heinz Dieter Ebbinghaus et.al., 2012, Numbers, sid. 82. ISBN 9781461210054.
^Weisstein, Eric W., "Ptolemy's Theorem", MathWorld. (engelska)
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Ptolemaios sats.