Duffin–Schaeffers förmodan

Inom talteori är Duffin–Schaeffers förmodan en viktig förmodan inom diofantisk approximation framtagen av R. J. Duffin och A. C. Schaeffer 1941. Förmodan säger att om f : N → R + {\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}} är en positiv reellvärd funktion, då har för nästan alla α {\displaystyle \alpha } (i förhållande till Lebesguemåttet) olikheten

| α − p q | < f ( q ) q {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}

oändligt många lösningar i relativt prima heltal p , q {\displaystyle p,q} med q > 0 {\displaystyle q>0} om och bara om summan

∑ q = 1 ∞ f ( q ) φ ( q ) q = ∞ {\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty }

där φ ( q ) {\displaystyle \varphi (q)} är Eulers fi-funktion.

Förmodan är än så länge obevisad. En högre-dimensionell analogi av den har dock lösts.[1][2]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Duffin–Schaeffer conjecture, 4 mars 2013.

Noter

  1. ^ Pollington, A.D.; Vaughan, R.C. (1990). ”The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture”. Mathematika 37 (2): sid. 190–200. ISSN 0025-5793. 
  2. ^ Harman (2002) p.69

Allmänna källor

  • Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. "18". Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850083-1. 
  • Harman, Glyn (2002). ”One hundred years of normal numbers”. i Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N. m.fl.. Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. Sid. 57–74. ISBN 1-56881-162-4.