Kartezijanski umnožak
U matematici, Dekartov (Kartezijanski) umnožak je direktni umnožak skupova. Ime je dobio po francuskom matematičaru Dekartu,[1] zahvaljujući čijem zasnivanju analitičke geometrije je postavljen temelj za ovaj koncept.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Cartesian_Product_qtl1.svg/220px-Cartesian_Product_qtl1.svg.png)
Posebno, Dekartov umnožak dva skupa X (npr. skup tačaka na x-osi) i Y (npr. skup tačaka na y-osi), u oznaci X × Y, je skup svih mogućih uređenih parova kod kojih je prva komponenta element skupa X a druga komponenta element skupa Y (u primeru bi to bila cela ravan x0y):
- [2]
Dekartov umnožak dva konačna skupa može se predstaviti tabelom, tako da su elementi jednog skupa raspoređeni u redove, a drugog u kolone. Tada se uređeni parovi mogu shvatiti kao ćelije u tabeli, gde je svaka određena svojim redom i kolonom.
Primeri
Umnožak nepraznih skupova
Neka su dati skupovi i .
U pitanju su različiti skupovi, tj. .
Špil karata
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Svg-cards-2.0.svg/300px-Svg-cards-2.0.svg.png)
Na špilu od 52 karte se može ilustrovati dekartov umnožak. Špil ima 13 vrsta karata {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} i svaka vrsta se pojavljuje u četiri boje {♠, ♥, ♦, ♣}. Dekartov umnožak ovih skupova se sastoji od 52 uređena para svih mogućih karata.
Vrsta × boja daje sledeći skup {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.
Boja × vrsta daje sledeći skup {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.
U pitanju su različiti disjunktni skupovi.
Dvodimenzionalni koordinatni sistem
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system.svg/300px-Cartesian-coordinate-system.svg.png)
Glavni istorijski primer je kartezijanska ravan u analitičkoj geometriji. U cilju predstavljanja geometrijskih oblika na numerički način i dobijanja numeričkih informacija od ovakvih reprezentacija oblika, Rene Dekart je svakoj tački u ravni dodelio par realnih brojeva, nazvanih koordinatama. Obično se takav par prvih i drugih komponenata naziva x i y koordinata, respektivno. Skup svih takvih parova, odnosno kartezijanski umnožak ℝ × ℝ gde su ℝ realni brojevi, predstavlja skup svih tačaka u ravni.
Implementacija u teoriji skupova
Formalna definicija Dekartovog umnoška sa aspekta teorije skupova sledi iz definicije uređenog para. Najčešća definicija uređenog para je , koju je dao Kuratovski. Iz definicije sledi da je , gde je partitivni skup. Dakle, postojanje Dekartovog umnoška bilo koja dva skupa u Cermelo-Frenkel teoriji skupova je posledica aksiome para, aksiome unije, aksiome partitivnog skupa, i sheme separacije. Pošto se funkcije najčešće definišu kao specijalan slučaj relacija, a relacije se definišu kao podskup Dekartovog umnoška, sledi da je Dekartov umnožak suštinski neophodan za većinu drugih definicija.
Nekomutativnost i neasocijativnost
Neka su A, B, C i D skupovi.
Dekartov umnožak nije komutativan,
,
jer su koordinate uređenih parova permutovane, osim ako je ispunjen jedan od sledećih uslova[3]:
- A je jednako B,
- bar jedan od skupova A i B je prazan.
Primeri:
- Skupovi A i B su različiti. Na primer: A = {1,2}; B = {3,4}
A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
- Skupovi A i B su jednaki. Na primer: A = B = {1,2}
A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
- Jedan od skupova A ili B je prazan. Na primer: A = {1,2}; B = ∅
A × B = {1,2} × ∅ = ∅
B × A = ∅ × {1,2} = ∅
U opštem slučaju, Dekartov umnožak nije asocijativan (osim ako je jedan od skupova prazan).
Na primer, ako je A = {1}, onda je (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A).
Dekartov umnožak u odnosu na presek, uniju, podskup
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/CartInts_svg.svg/300px-CartInts_svg.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/CartUnion_svg.svg/300px-CartUnion_svg.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/CartDistr_svg.svg/300px-CartDistr_svg.svg.png)
Dekartov umnožak se lepo ponaša u odnosu na presek skupova.
[4]
Međutim, skupovna jednakost ne važi ukoliko presek zamenimo sa unijom.
U stvari, važi sledeća jednakost:
Za razliku skupova važi identitet:
Sledeće skupovne jednakosti ilustruju distributivnost Dekartovog umnoška i skupovnih operacija[3]
,
,
,
[4].
Za podskupove važi sledeće:
Ako je onda je ,
Ako su A,B onda je [5].
Kardinalnost
Kardinalnost (kardinal ili kardinalni broj) je broj elemenata skupa. Na primer, neka su data dva skupa: A = {a, b} i B = {5, 6}. Skupovi A i B imaju po dva elementa. Njihov Dekartov umnožak, u oznaci A × B, daje novi skup koji se sastoji od sledećih elemenata:
A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.
Svaki element skupa A se uparuje sa svakim elementom skupa B. Svaki uređeni par je element u rezultujućem skupu A × B. Broj različitih elemenata u Dekartovom umnošku skupova jednak je umnošku broja elemenata skupova čiji se Dekartov umnožak računa; u ovom slučaju je 2·2=4. Kardinalni broj dobijenog skupa, jednak je omnošku kardinalnih brojeva skupova čiji se Dekartov umnožak računa. Dakle,
||A × B| = |A| · |B|.
Slično,
||A × B × C| = |A| · |B| · |C|
i tako dalje.
Skup A × B je beskonačan ako je bar jedan od skupova A ili B beskonačan a drugi skup je neprazan.[6]
-arni umnožak
Dekartovo stepenovanje
Dekartov kvadrat (ili binarni Dekartov umnožak) skupa X je Dekartov umnožak X2 = X × X. Primer ovog umnoška je dvodimenzionalna ravan R2 = R × R gde je R skup realnih brojeva: R2 je skup svih tačaka (x,y) gde su x i y realni brojevi (vidi Dekartov koordinatni sistem).
Dekartov stepen skupa X može se definisati kao:
Odgovarajući primer je R3 = R × R × R, gde je R skup realnih brojeva. Opštiji primer je Rn.
n-arni Dekartov stepen skupa X je izomorfan prostoru funkcija koje preslikavaju skup od n elemenata u skup X. Kao specijalan slučaj, 0-arni Dekartov stepen od X može se uzeti jednoelementni skup i odgovarajuće prazno preslikavanje sa kodomenom X.
Konačni n-arni umnožak
Dekartov umnožak može se uopštiti na n-arni Dekartov umnožak sa n skupova X1, ..., Xn:
Ovako definisan umnožak je skup n-torki. Ako se n-torke definišu kao ugnježdeni uređeni parovi, onda se skup n-torki može poistovetiti sa (X1 × ... × Xn−1) × Xn.
Beskonačni umnošci
Moguće je definisati Dekartov umnožak za proizvoljnu (beskonačnu) indeksiranu familiju skupova. Ako je I proizvoljan skup indeksa, i familija skupova indeksiranih sa I, tada se Dekartov umnožak skupova u X definiše kao
što predstavlja skup svih funkcija definisanih na skupu indeksa tako da vrednost funkcije za određeni indeks i bude elemenet skupa Xi. Čak i kada je svaki od Xi neprazan, Dekartov umnožak može biti prazan ako ne pretpostavimo da važi aksioma izbora (koja je ekvivalentna tvrđenju da je svaki takav umnožak neprazan).
Za svako j iz I, funkcija
definisana sa naziva se j-ta projekcija.
Važan slučaj je kada je skup indeksa skup prirodnih brojeva : ovaj Dekartov umnožak je skup svih beskonačnih sekvenci gde je i-ta koordinata iz odgovarajućeg skupa Xi. Na primer, svaki element umnoška
može se predstaviti kao vektor sa prebrojivo mnogo realnih koordinata. Ovaj skup se najčešće označava sa , ili .
Reference
- ↑ Merriam-Webster Online Dictionary Pristupljeno 23.11.2015.
- ↑ Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
- ↑ 3,0 3,1 Singh, S. Cartesian product. Pristupljeno 24. 11. 2015.
- ↑ 4,0 4,1 Dekartov umnožak na PlanetMath.org.
- ↑ Dekartov umnožak podskupova na https://proofwiki.org/ Pristupljeno 29.11.2015.
- ↑ Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm
Spoljašnje veze
- Članak o Dekartovom umnošku (en)