Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.
Teoremă
Dacă funcțiile sunt derivabile și au derivate continue pe atunci are loc egalitatea:
unde simbolul reprezintă mulțimea primitivelor funcției iar reprezintă mulțimea primitivelor funcției
Demonstrație.
Funcția are derivată continuă pe și
Fie acum și diferența Prin derivare se obține egalitatea:
care arată că
Astfel am obținut că funcția și Altfel spus, Analog se arată că oricare ar fi funcția
Consecință.
Dacă funcțiile au derivate continue pe atunci are loc egalitatea:
Exemple
Exemplul 1
Să se calculeze
Mai întâi alegem funcțiile f și g:
Calculăm derivata lui f:
Integrăm pe g:
Deci
Exemplul 2
Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:
Integrând prin părți rezultă:
De aici avem:
Această formulă împreună cu egalitățile și conduc la evaluarea primitivei pentru
Vezi și
Legături externe
| Portal matematică |
- en eMathHelp
- en MathIsFun.com