Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:
pe care a reușit să o demonstreze pentru orice
Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:
- (formula lui Moivre)
Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.
Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel în cazul inițial pentru formula este verificată.
Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru adică:
și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru
Într-adevăr,
Cazul puterii cu exponent rațional
Formula lui Moivre este valabilă și pentru întreg negativ. Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar și se ia se obține:
care are n valori diferite când k parcurge mulțimea Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.