Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:
O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.
Demonstração
Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:
Defina o conjunto cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também como a soma dos inversos dos elementos de , assim:
É possível mostrar por indução que:
Usando a série geométrica, temos:
E, portanto:
tomando logaritmos, temos:
Usamos a série de Taylor para o logarítmo:
assim:
Observamos que:
e também que:
E finalmente:
E o resultado segue dado que quando
Outra demonstração
Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.
Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural tal que:
Defina o conjunto formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos :
E defina a função como o número de elementos em .
A prova consiste em estabelecer valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.
Proposição 1:
Todo número inteiro pode ser escrito na forma , onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos só podem ter, como fatores primos, os primos , portanto o número q é da seguinte forma:
onde os expoentes valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, possibilidades para o valor do número q. Como m2 ≤ x, temos que existem no máximo possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).
Proposição 2:
O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo pi, com i > k.
Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo é inferior a .
Portanto, temos a a estimativa:
ou, simplificando:
E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.
Teorema de Brun
Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.
Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.
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