Relação assimétrica

 Nota: Não confundir com Relação antissimétrica

Em matemática, uma relação assimétrica é uma relação binária em um conjunto ${\displaystyle X}$ onde:

• Para todos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle X}$, se ${\displaystyle a}$ está relacionado a ${\displaystyle b}$, então ${\displaystyle b}$ não está relacionado a ${\displaystyle a}$.^[1]

Na notação matemática, isto é:

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Rightarrow \lnot (bRa))}$

Um exemplo é a relação "menor que" ${\displaystyle <}$ entre números reais: se ${\displaystyle x<y}$, então necessariamente ${\displaystyle y}$ não é menor que ${\displaystyle x}$. A relação "menor que ou igual" ${\displaystyle \leq }$, por outro lado, não é assimétrica, porque a inversão, ex.: ${\displaystyle x\leq x}$ produz ${\displaystyle x\leq x}$ e ambos são verdadeiros. Em geral, qualquer relação em que ${\displaystyle xRx}$ vale para algum ${\displaystyle x}$(isto é, que não é irreflexiva) também não é assimétrica.

A assimetria não é a mesma coisa que "não simétrica": a relação menor que ou igual é um exemplo de uma relação que não é nem simétrica nem assimétrica. A relação vazia é a única relação que é (por vacuidade) tanto simétrica quanto assimétrica.

• Uma relação é assimétrica se e somente se for antissimétrica e irreflexiva.^[2]
• Restrições e conversas de relações assimétricas também são assimétricas. Por exemplo, a restrição de ${\displaystyle <}$ dos reais aos inteiros ainda é assimétrica, e o inverso ${\displaystyle >}$ de ${\displaystyle <}$ também é assimétrico.
• Uma relação transitiva é assimétrica se e somente se for irreflexiva:^[3] se ${\displaystyle aRb}$ e ${\displaystyle bRa}$, a transitividade dá ${\displaystyle aRa}$, contradizendo a irreflexividade.
• Como consequência, uma relação é transitiva e assimétrica se e somente se for uma ordem parcial estrita.
• Nem todas as relações assimétricas são ordens parciais estritas. Um exemplo de relação assimétrica não transitiva e até mesmo intransitiva é a relação pedra-papel-tesoura: se X vence Y, então Y não vence X; e se X vence Y e Y vence Z, então X não vence Z.
• Uma relação assimétrica não precisa ter a propriedade conectiva. Por exemplo, ${\displaystyle \subsetneq }$ é assimétrico e nenhum dos conjuntos ${\displaystyle \{1,2\}}$ e ${\displaystyle \{3,4\}}$ é um subconjunto estrito do outro.

Referências

• Portal da matemática