As identidades a seguir são relevantes para o Cálculo Vetorial :
Notação de Operadores
Gradiente Ver artigo principal: Gradiente
No Sistema de coordenadas cartesiano em três dimensões, o gradiente de alguma função f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} é dado por:
grad ( f ) = ∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} } onde i , j , k são os vetores de uma Base ortonormal.
O gradiente de um campo tensorial, A {\displaystyle \mathbf {A} } , de ordem n é geralmente escrito como:
grad ( A ) = ∇ A {\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {A} )=\nabla \mathbf {A} } e é um campo tensorial de ordem n + 1 . Em particular, se o campo tensorial tem ordem 0, como por exemplo um campo escalar ψ {\displaystyle \psi } , o gradiente resultante,
grad ( ψ ) = ∇ ψ {\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )=\nabla \psi } é um campo vetorial.
Divergente Ver artigo principal: Divergência
No espaço cartesiano tridimensional, a divergência de uma campo vetorial continuamente diferenciável F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} } é definida como a função escalar:
div F = ∇ ⋅ F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ ( F x , F y , F z ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z . {\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.} A divergência de um campo tensorial, A {\displaystyle \mathbf {A} } , de ordem não nula n , é geralmente escrita como
div ( A ) = ∇ ⋅ A {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} } e é uma contração para um tensor de ordem n − 1 . Especificamente, a divergência de um vetor é um escalar. A divergência de um campo tensorial de ordem superor pode ser encontrada decompondo-se o campo tensorial na soma dos produtos externos, assim permitindo o uso da identidade,
∇ ⋅ ( B ⊗ A ^ ) = A ^ ( ∇ ⋅ B ) + ( B ⋅ ∇ ) A ^ {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {B} \otimes {\hat {\mathbf {A} }})={\hat {\mathbf {A} }}(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla ){\hat {\mathbf {A} }}} onde B ⋅ ∇ {\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla } é a derivada direcional na direção B {\displaystyle \mathbf {B} } multiplicada pela sua magnitude. Especificamente, para o produto externo de dois vetores,
∇ ⋅ ( a b T ) = b ( ∇ ⋅ a ) + ( a ⋅ ∇ ) b . {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} })=\mathbf {b} (\nabla \cdot \mathbf {a} )+(\mathbf {a} \cdot \nabla )\mathbf {b} \ .}
Rotacional Ver artigo principal: Rotacional
Em coordenadas cartesianas , para F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} } :
r o t ( F ) {\displaystyle rot(\mathbf {F} )} = ∇ × F = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}
∇ × F = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} } onde i , j , and k são os vetores unitários para os eixos x -, y -, e z - , respectivamente.
Para um campo vetorial tridimensional v {\displaystyle \mathbf {v} } , o rotacional também é um campo vetorial tridimensional, normalmente escrito como:
∇ × v {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} } ou na Notação de Einstein como:
ε i j k ∂ v k ∂ x j {\displaystyle \varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x^{j}}}} onde ε é o Símbolo de Levi-Civita .
Laplaciano Ver artigo principal: Laplaciano
Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} é
Δ f = ∇ 2 f = ( ∇ ⋅ ∇ ) f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} Para um campo tensorial, A {\displaystyle \mathbf {A} } , o laplaciano é geralmente escrito como:
Δ A = ∇ 2 A = ( ∇ ⋅ ∇ ) A {\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} } e é um campo tensorial de mesma ordem.
Notações especiais Na Notação de Feynman ,
∇ B ( A ⋅ B ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\left(\mathbf {A\cdot B} \right)\ =\ \mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\ +\ \left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} } onde a notação ∇B significa que o gradiente subscrito opera somente no fator B .[ 1] [ 2]
Uma ideia semelhante mas menos geral é utilizada na álgebra geométrica, onde a notação de sobreponto Hestenes é utilizada.[ 3] A identidade acima é então expressada como:
∇ ˙ ( A ⋅ B ˙ ) = A × ( ∇ × B ) + ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {B} }}\right)\ =\ \mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\ +\ \left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} } onde o sobreponto define o escopo da derivada vetorial. O vetor com sobreponto, neste caso B , é diferenciado, enquanto o A , sem ponto, é mantido constante.
Pelo resto deste artigo, a notação subscrita de Feynman será usada onde for apropriado.
Propriedades
Propriedades distributivas ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }
Regra do Produto para o Gradiente O gradiente do produto de dois campos escalares ψ {\displaystyle \psi } and ϕ {\displaystyle \phi } segue a mesma forma da regra do produto no cálculo de variável simples.
∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \,\phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi }
Produto de um Escalar e um Vetor ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ( ∇ ⋅ A ) + A ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \cdot \mathbf {A} )\ +\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )} ∇ × ( ψ A ) = ψ ( ∇ × A ) + ( ∇ ψ ) × A {\displaystyle \nabla \times (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \times \mathbf {A} )\ +\ (\nabla \psi )\times \mathbf {A} }
Regra do Quociente ∇ ( f g ) = g ∇ f − ( ∇ g ) f g 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-(\nabla g)f}{g^{2}}}} ∇ ⋅ ( A g ) = g ∇ ⋅ A − ( ∇ g ) ⋅ A g 2 {\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \cdot \mathbf {A} -(\nabla g)\cdot \mathbf {A} }{g^{2}}}} ∇ × ( A g ) = g ∇ × A − ( ∇ g ) × A g 2 {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \times \mathbf {A} -(\nabla g)\times \mathbf {A} }{g^{2}}}}
Regra da Cadeia ∇ ( f ∘ g ) = ( f ′ ∘ g ) ∇ g {\displaystyle \nabla (f\circ g)=(f'\circ g)\nabla g} ∇ ( f ∘ A ) = ( ∇ f ∘ A ) ∇ A {\displaystyle \nabla (f\circ \mathbf {A} )=(\nabla f\circ \mathbf {A} )\nabla \mathbf {A} } ∇ ⋅ ( A ∘ f ) = ( A ′ ∘ f ) ⋅ ∇ f {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ f)=(\mathbf {A} '\circ f)\cdot \nabla f} ∇ × ( A ∘ f ) = − ( A ′ ∘ f ) × ∇ f {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \circ f)=-(\mathbf {A} '\circ f)\times \nabla f}
Produto Escalar ou Produto Vetorial Interno ∇ ( A ⋅ B ) = J A T B + J B T A = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathbf {A} }^{\mathrm {T} }\mathbf {B} +\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \\&=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\ .\end{aligned}}} onde J A denota o Jacobiano de A .
Alternativamente, usando notação subscrita de Feynman,
∇ ( A ⋅ B ) = ∇ A ( A ⋅ B ) + ∇ B ( A ⋅ B ) . {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .} Como um caso especial, quando A = B ,
1 2 ∇ ( A ⋅ A ) = J A T A = ( A ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × A ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)&=\mathbf {J} _{\mathbf {A} }^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \\&=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\ .\end{aligned}}}
Produto Vetorial ∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ × A ) ⋅ B − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )} ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B = ( ∇ ⋅ B + B ⋅ ∇ ) A − ( ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ) B = ∇ ⋅ ( B A T ) − ∇ ⋅ ( A B T ) = ∇ ⋅ ( B A T − A B T ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} \ (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} \ (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \\&\ =\ (\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \\&\ =\ \nabla \cdot (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} })-\nabla \cdot (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })\\&\ =\ \nabla \cdot (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })\end{aligned}}}
Derivações Segundas
Rotacional do Gradiente O rotacional do gradiente de qualquer Campo escalar contínuo duplamente diferenciável é sempre o vetor nulo .
∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0} }
Divergente do Rotacional O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial A (cujas componentes são funções que admitem a segunda derivada, sendo a última uma função contínua) é sempre zero:
∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}
Divergente do Gradiente O Laplaciano de um campo escalar é o divergente do seu gradiente:
∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )} O resultado é um valor escalar.
Rotacional do Rotacional ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} } Aqui,∇2 é o vetor Laplaciano operando no campo vetorial A .
Sumário de Identidades Importantes
Adição e Multiplicação A + B = B + A {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} } A ⋅ B = B ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} } A × B = − B × A {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} } ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C {\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} } ( A + B ) × C = A × C + B × C {\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} } A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ ( C × A ) = C ⋅ ( A × B ) {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \cdot \left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)=\mathbf {C} \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)} (Produto triplo ) A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {C} } (Produto triplo ) ( A × B ) × C = ( A ⋅ C ) B − ( B ⋅ C ) A {\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {A} } (Produto triplo ) A × ( B × C ) = ( A × B ) × C + B × ( A × C ) {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} \ +\ \mathbf {B} \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {C} \right)} (Identidade de Jacobi ) A × ( B × C ) + C × ( A × B ) + B × ( C × A ) = 0 {\displaystyle \mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\ +\ \mathbf {C} \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ +\ \mathbf {B} \times \left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)=0} (Identidade de Jacobi ) ( A × B ) ⋅ ( C × D ) = ( A ⋅ C ) ( B ⋅ D ) − ( B ⋅ C ) ( A ⋅ D ) {\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right)} ( A ⋅ ( B × C ) ) D = ( A ⋅ D ) ( B × C ) + ( B ⋅ D ) ( C × A ) + ( C ⋅ D ) ( A × B ) {\displaystyle \left(\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\right)\mathbf {D} =\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)} ( A × B ) × ( C × D ) = ( A ⋅ ( B × D ) ) C − ( A ⋅ ( B × C ) ) D {\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {D} \right)\right)\mathbf {C} -\left(\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\right)\mathbf {D} }
Diferenciação
Gradiente ∇ ( ψ + ϕ ) = ∇ ψ + ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi } ∇ ( ψ ϕ ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla (\psi \,\phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi } ∇ ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ ) B + ( B ⋅ ∇ ) A + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} +\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} +\mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)+\mathbf {B} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)}
Divergente ∇ ⋅ ( A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\nabla \cdot \mathbf {B} } ∇ ⋅ ( ψ A ) = ψ ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} \cdot \nabla \psi } ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( ∇ × A ) − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )\,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}
Rotacional ∇ × ( A + B ) = ∇ × A + ∇ × B {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \times \mathbf {B} } ∇ × ( ψ A ) = ψ ∇ × A + ∇ ψ × A {\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \psi \times \mathbf {A} } ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\,-\,\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\,+\,\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,-\,\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }
Derivações Segundas DCG chart: Um mapa demonstrando todas as regras pertinentes as segundas derivações. D, C, G, L e CC representam, respectivamente, divergente, rotacional, gradiente, Laplaciano e rotacional do rotacional. As setas indicam a existência de segundas derivações. O círculo azul no centro representa o rotacional do rotacional, enquanto os outros dois círculo vermelhos tracejados significam que divergente do divergente e gradiente do gradiente não existem. ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0} ∇ × ( ∇ ψ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} } ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) = ∇ 2 ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi } (Laplaciano escalar ) ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} } (Laplaciano vetorial ) ∇ ⋅ ( ϕ ∇ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + ∇ ϕ ⋅ ∇ ψ {\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi } ψ ∇ 2 ϕ − ϕ ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ ( ψ ∇ ϕ − ϕ ∇ ψ ) {\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)} ∇ 2 ( ϕ ψ ) = ϕ ∇ 2 ψ + 2 ∇ ϕ ⋅ ∇ ψ + ψ ∇ 2 ϕ {\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2\nabla \phi \cdot \nabla \psi +\psi \nabla ^{2}\phi } ∇ 2 ( ψ A ) = A ∇ 2 ψ + 2 ( ∇ ψ ⋅ ∇ ) A + ψ ∇ 2 A {\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} } ∇ 2 ( A ⋅ B ) = A ⋅ ∇ 2 B − B ⋅ ∇ 2 A + 2 ∇ ⋅ ( ( B ⋅ ∇ ) A + B × ∇ × A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times \nabla \times \mathbf {A} )} (Identidade vetorial de Green )
Derivações Terceiras ∇ 2 ( ∇ ψ ) = ∇ ( ∇ ⋅ ( ∇ ψ ) ) = ∇ ( ∇ 2 ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla (\nabla ^{2}\psi )} ∇ 2 ( ∇ ⋅ A ) = ∇ ⋅ ( ∇ ( ∇ ⋅ A ) ) = ∇ ⋅ ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot (\nabla ^{2}\mathbf {A} )} ∇ 2 ( ∇ × A ) = − ∇ × ( ∇ × ( ∇ × A ) ) = ∇ × ( ∇ 2 A ) {\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times (\nabla ^{2}\mathbf {A} )}
Integração Abaixo, o símbolo ∂ significa "contorno de".
Integrais de Superfície-volume Nos teoremas de integral de superfície-volume, V denota o volume tridimensional correspondente ao contorno bidimensional S = ∂V (uma superfície fechada):
∫ ∫ ∂ V ◯ {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,} A ⋅ d S = ∭ V ( ∇ ⋅ A ) d V {\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} =\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)dV} (Teorema da divergência ) ∫ ∫ ∂ V ◯ {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,} ψ d S = ∭ V ∇ ψ d V {\displaystyle \psi d\mathbf {S} =\iiint _{V}\nabla \psi \,dV} ∫ ∫ ∂ V ◯ {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,} ( n ^ × A ) d S = ∭ V ( ∇ × A ) d V {\displaystyle \left({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {A} \right)dS=\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)dV} ∫ ∫ ∂ V ◯ {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,} ψ ( ∇ φ ⋅ n ^ ) d S = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ + ∇ φ ⋅ ∇ ψ ) d V {\displaystyle \psi \left(\nabla \varphi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)dS=\iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)dV} (Primeira Identidade de Green ) ∫ ∫ ∂ V ◯ {\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,} [ ( ψ ∇ φ − φ ∇ ψ ) ⋅ n ^ ] d S = G {\displaystyle \left[\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right]dS=G} G = ∫ ∫ ∂ V ◯ {\displaystyle G=\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,} [ ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ] d S {\displaystyle \left[\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right]dS} = ∭ V ( ψ ∇ 2 φ − φ ∇ 2 ψ ) d V {\displaystyle \displaystyle =\iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)dV} (Segunda Identidade de Green )
Integrais de Curva-Superfície Nos teoremas de integral de curva-superfície a seguir S denta uma superfície bidimensional aberta com contorno correspondente C = ∂S (uma curva fechada):
∮ ∂ S A ⋅ d ℓ = ∬ S ( ∇ × A ) ⋅ d s {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {s} } (Teorema de Stokes ) ∮ ∂ S ψ d ℓ = ∬ S ( n ^ × ∇ ψ ) d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\psi d{\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left({\hat {\mathbf {n} }}\times \nabla \psi \right)dS} Integração ao redor de uma curva fechada no sentido horário é o negativo da mesma integral de linha no sentido anti-horário, o que é análogo a mudar a inverter os limites em uma integral definida .
Referências ↑ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics . [S.l.]: Addison-Wesley. Vol II, p. 27–4. ISBN 0-8053-9049-9 ↑ Kholmetskii, A. L.; Missevitch, O. V. (2005). «The Faraday induction law in relativity theory». arXiv :physics/0504223 [physics.class-ph] ↑ Doran, C.; Lasenby, A. (2003). Geometric algebra for physicists . [S.l.]: Cambridge University Press. p. 169. ISBN 978-0-521-71595-9
Leitura Adicional Balanis, Constantine A. Advanced Engineering Electromagnetics . [S.l.: s.n.] ISBN 0-471-62194-3 Schey, H. M. (1997). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus . [S.l.]: W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5 Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics . [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X