Um gás de Bose ideal é uma versão quântica de um gás ideal clássico. Ele é composto de bósons, partículas que têm um valor inteiro de spin, e portanto obedecem a estatística de Bose-Einstein. A mecânica estatística de bósons foi desenvolvida por Satyendra Nath Bose para fótons, e estendida posteriormente por Albert Einstein para partículas massivas. Einstein percebeu que um gás ideal de bósons iria se condensar quando a temperatura fosse baixa o suficiente, o que não ocorre com um gás ideal clássico. Esta fase da matéria ficou conhecida como Condensado de Bose-Einstein.
Potencial termodinâmico
Devido a Interação de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o ensemble grande canônico:
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{i}z^{N}e^{-\beta \varepsilon _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbf648ad309d6cee226559e3f06cacb22276422)
que para um gás fica:
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{i}\}}\,^{\prime }\prod _{i}z^{n_{i}}e^{-\beta n_{i}E_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a07fcd9cc4ae34ba1972441869c7989890c712)
A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser
. Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os
possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de
é permitido, logo:
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}=\prod _{i}(1+ze^{-\beta E_{i}})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a0c506a0bbea674210b8d7bc168b3fbbff9dc4)
O potencial termodinâmico é então:
![{\displaystyle -PV(z,\beta )=\Omega (z,\beta )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i}\ln(1-ze^{-\beta E_{i}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0f6b71f406f94edf7d8c80fe20accaccb0d265)
Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em
dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):
![{\displaystyle \Omega (z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}}{\beta }}{\frac {2\pi ^{d/2}}{h^{d}\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }p^{d-1}\ln(1-ze^{-\beta p^{2}/2m})-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c877b1b5a358957e603874e03393524e98da72)
onde
é a função gama,
é a função polilogarítmica e
é o volume d-dimensional que o gás ocupa.
![{\displaystyle \Omega (z,\beta ,V^{(d)})=-{\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{2mh^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2+1}{\text{Li}}_{d/2+1}(z)-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df6d7a9bf132d3eb41514f134cf348bcdd74bff)
Note que a função polilogarítmica só está definida para
reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.
Condensação de Bose-Einstein
O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:
![{\displaystyle N(z,\beta ,V^{(d)})=-\beta z{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}{\text{Li}}_{d/2}(z)+{\text{Li}}_{0}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0750c40a8612ab213a83750400c34fda41840a72)
O maior valor da função polilogarítmica acontece em
quando o número de partículas em estados excitados é:
![{\displaystyle N^{(p>0)}(z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}\zeta (d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742604a45046f36c2bb7c1b21fda6dc1cd427aed)
Perceba que para
isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura
. Todas as demais
![{\displaystyle N^{(p=0)}=N\left[1-\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{d/2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef649cbb75c572cc7590dbf97476d8bab371275f)
partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).
Ver também