Função teta
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Complex_theta_minus0point1times_e_i_pi_0point1.jpg/400px-Complex_theta_minus0point1times_e_i_pi_0point1.jpg)
Em matemática, as funções teta são funções especiais de múltiplas variáveis complexas. São importantes em diversas áreas, incluindo as teorias de variedades abelianas e espaço de moduli, e das formas quadráticas.Também são aplicadas na teoria do sóliton. Quando generalizada na álgebra de Grassmann, elas também aparecem na teoria quântica de campo, mas especificamente na teoria de cordas e D-branas.
A forma mais comum da função teta de é aquela que aparece na teoria das funções elípticas. Com respeito a uma das variáveis complexas (convencionalmente chamada de z), uma função teta possui uma propriedade de expressar seu comportamento com respeito a adição de um período das funções elípticas associadas, fazendo-a uma função quasi-periódica.
Função teta de Jacobi
A função teta de Jacobi (nomeada em referência a Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma função definida para duas variáveis complexas z e τ, onde z pode ser qualquer número complexo e τ é confinada no meio plano superior, o que significa que possui parte imaginária positiva. A função é dada pela fórmula:
Se τ é fixo, ela se torna uma série de Fourier para uma função inteira periódica de z com período 1; neste caso, a função teta satisfaz a identidade
A função também se comporta muito regularmente com respeito a seu quasi-período τ e satisfaz a equação funcional
onde a e b são inteiros.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ab/Complex_theta_animated1.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Complex_theta_animated2.gif)
Funções auxiliares
A função teta de Jacobi também pode ser escrita com um duplo 0 subscrito:
Três funções teta auxiliares (meio-período) são definidas por:
Esta notação segue a formulação de Riemann e Mumford; a formulação original de Jacobi estava em termos do nome q = exp(πiτ) ao invés de τ. Na notação de Jacobi, as funções θ eram escritas como
As definições da função teta de Jacobi supracitadas não são únicas.
Se fizermos z = 0 nas funções teta, obtemos quatro funções para τ apenas, definidas no semiplano superior (por vezes chamadas constantes tetas). Elas podem ser utilizadas para definir uma variedade da forma modular, e para parametrizar certas curvas; em particular, a identidade de Jacobi é
que é a curva de Fermat de quarto grau.
Referências
- Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (Ver seção 16.27ff.)
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscou, traduzido para o inglês como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (Ver capítulo 6 para tratamento da teta de Riemann)
- Godfrey Harold Hardy e E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
- David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
- James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
- Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (Ver capítulo XXI para a história das funções teta de Jacobi)
Ligações externas
- Abramowitz and Stegun hosted by Simon Fraser University