Fator de automorfia

Em matemática, a noção de fator de automorfia surge de uma acção de grupo sobre uma variedade analítica complexa. Supondo-se um grupo ${\displaystyle G}$ atuando sobre uma variedade analítica complexa ${\displaystyle X}$. Então, ${\displaystyle G}$ também atua sobre o espaço de funções holomórficas de ${\displaystyle X}$ para os números complexos. Uma função ${\displaystyle f}$ é denominada uma forma automórfica se a seguinte condição:

${\displaystyle \,f(g.x)=j_{g}(x)f(x)}$

onde ${\displaystyle j_{g}(x)}$ é em qualquer posição função holomórfica não nula. Equivalentemente, uma forma automórfica é uma função onde o divisor é invariante sob a ação de ${\displaystyle G}$.

O fator de automorfia para a forma automórfica ${\displaystyle f}$ é a função ${\displaystyle j}$. Uma função automórfica é uma forma automórfica para a qual ${\displaystyle j}$ é a identidade.

Algumas notas sobre fatores de automorfia:

• Qualquer fator de automorfia é um cociclo para a ação de ${\displaystyle G}$ sobre o multiplicativo grupo de qualquer posição de funções holomórficas não nulas.
• O fator de automorfia é um complexo de cadeias se e somente se origina-se de uma forma automórfica não nula em qualquer posição.
• Para um dado fator de automorfia, o espaço da forma automórfica é um espaço vetorial.
• O produto de duas formas automórficas é uma forma automórfica que corresponde ao produto dos fatores de automorfia correspondentes.

Relação entre fatores de automorfia e outras noções:

• Sendo ${\displaystyle \Gamma }$ um reticulado em um grupo de Lie ${\displaystyle G}$. Então, um fator de automorfia para ${\displaystyle \Gamma }$ corresponde ao fibrado de linhas sobre o grupo quociente ${\displaystyle G/\Gamma }$. Além disso, as formas automórficas para um dado fator de automorfia correspondem a seções do correspondente feixe de linhas.

O caso específico de ${\displaystyle \Gamma }$, um subgrupo de SL(2,R), atuando sobre o meio plano superior, é tratado no artigo sobre fatores automórficos.

• A.N. Andrianov,A.N. Parshin (2001), Automorphic function em Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 (O comentário ao final define fatores automórficos em uma moderna linguagem geométrica)
• A.N. Parshin (2001), Automorphic form em Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

• R. C. Gunning; GENERAL FACTORS OF AUTOMORPHY; Proc Natl Acad Sci U S A. 1955 July 15; 41(7): 496–498. (em inglês)
• R. C. Gunning; THE STRUCTURE OF FACTORS OF AUTOMORPHY; American Journal of Mathematics, Vol. 78, No. 2 (Apr., 1956), pp. 357–382. (em inglês)

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