Fórmula de Cauchy para integrações repetidas
A Fórmula de Cauchy para integrações repetidas ou sucessivas, enunciada por Augustin Louis Cauchy, permite compactar n antidiferenciações de uma função em uma integral simples (cf. Fórmula de Cauchy).
Caso escalar
Seja ƒ uma função contínua na reta real. Então a n-ésima antiderivada de ƒ,
é dada pela simples integração
Uma prova é dada por indução. Desde que ƒ seja contínua, o caso mais simples é dado por
Um pequeno trabalho demonstra também
Portanto, ƒ(-n)(x) resulta na n-ésima antiderivada de ƒ(x).
Ver também
- Cálculo Fracionário
- Derivada
- Integral Múltipla
- Métodos de Integração
- Primitiva
- Tábua de integrais
Referências
- Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2
Ligações externas
- Alan Beardon (2000). «Fractional calculus II». University of Cambridge