Equação diferencial ordinária de primeira ordem

Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

• ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,t),t\in D\,}$

onde ${\displaystyle f(x,t)\,}$ é dada e a incógnita é a função ${\displaystyle x(t)\,}$. O domínio ${\displaystyle D\,}$ pode ser um intervalo ou a reta real inteira.

Quando a função ${\displaystyle f(x,t)\,}$ não depende explicitamente sobre a variável independente ${\displaystyle t\,}$ e o problema pode ser escrito na seguinte forma:

• ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x),t\in D\,}$

então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.

Equação	Solução	Domínio
${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=t\,}$	${\displaystyle x(t)={\frac {t^{2}}{2}}+C\,}$	${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x\,}$	${\displaystyle x(t)=Ce^{t}\,}$	${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xt\,}$	${\displaystyle x(t)=Ce^{t^{2}/2}\,}$	${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x^{2}\,}$	${\displaystyle x(t)={\frac {1}{C-t}}\,}$	${\displaystyle t\in \mathbb {R} \backslash \{C\}}$

Em todos os casos a constante de integração ${\displaystyle C\,}$ é arbitrária

O problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função ${\displaystyle x(t)\,}$ que satisfaz a equação diferencial dada e assume a condição inicial no ponto inicial do intervalo:

• ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&f(x,t),~~~x>t_{0}\\x(t_{0})&=&u_{0}\end{array}}\right.}$

• ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&x,~~~t>0\\x(t=0)&=&1\end{array}}\right.}$

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

• ${\displaystyle x(t)=e^{t}\,}$

O teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de ${\displaystyle t_{0}\,}$ para o problema de valor inicial:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),t)\\x(t_{0})=x_{0}\end{array}}\,}$

onde ${\displaystyle f(x,t)\,}$ é uma função contínua na variável ${\displaystyle t\,}$ e Lipschitz contínua na variável ${\displaystyle x\,}$.

O problema de valores de contorno para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função ${\displaystyle x(t)\,}$ que satisfaz a equação diferencial dada em um intervalo ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]\,}$ e cujos valores nos extremos ${\displaystyle t_{0}\,}$ e ${\displaystyle t_{1}\,}$ satisfazem uma condição dada:

• ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&f(x,t),~~~x>t_{0}\\B(x(t_{0}),x(t_{1}))&=&0\end{array}}\right.}$

• ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&x,~~~t>0\\x(0)-2x(1)&=&1\end{array}}\right.}$

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

• ${\displaystyle x(t)={\frac {e^{t}}{1-2e}}\,}$

O caso linear acontece quando a função ${\displaystyle f(x,t)\,}$ é da seguinte forma:

• ${\displaystyle f(x,t)=\phi (t)+x\psi (t)\,}$

A equação fica, então:

• ${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}-x(t)\psi (t)=\phi (t)\,}$

Esta equação pode ser resolvida multiplicando pelo fator integrante:

• ${\displaystyle \left({\frac {dx(t)}{dt}}-x(t)\psi (t)\right)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }=\phi (t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\,}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(x(t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\right)=\phi (t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\,}$

então, integrando, temos:

• ${\displaystyle x(t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }=x(0)+\int _{0}^{t}\phi (s)e^{-\int _{0}^{s}\psi (\tau )d\tau }ds\,}$

ou, equivalentemente:

• ${\displaystyle x(t)=x(0)e^{\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}\phi (s)e^{\int _{s}^{t}\psi (\tau )d\tau }ds\,}$

Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma: ^[1]

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {f(x)}{g(y)}}}$

Para resolver este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função ${\displaystyle g(y)}$ pode ser calculada da seguinte forma

${\displaystyle \int g(y)dy=\int g(y(x)){dy \over dx}dx}$

A equação diferencial pode ser escrita como

${\displaystyle g(y){dy \over dx}=f(x)}$

e a primitiva em ordem a ${\displaystyle x}$ do lado esquerdo é igual à primitiva em ordem a ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle g(y)}$ como acabamos de ver

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+c}$

As equações do tipo

${\displaystyle {dy \over dx}=f(ax+by+c)}$

onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição^[1]

${\displaystyle v=ax+by+c\qquad \Longrightarrow \qquad {dv \over dx}=a+b{dy \over dx}}$

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:^[1]

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

${\displaystyle dF(x,y)={\partial F \over \partial x}dx+{\partial F \over \partial y}dy}$

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função ${\displaystyle F(x,y)}$ cujas derivadas parciais são iguais a ${\displaystyle M(x,y)}$ e ${\displaystyle N(x,y)}$.^[1] No entanto, a segunda derivada parcial de ${\displaystyle F}$ seria

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{F}}{\partial x^{2}}}y={\partial M \over \partial y}={\partial N \over \partial x}}$

Assim, para que a conjetura da existência da função ${\displaystyle F(x,y)}$ seja consistente, é necessário que as funções ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ verifiquem a seguinte condição

${\displaystyle {\partial M \over \partial y}={\partial N \over \partial x}}$

nesse caso diz-se que a equação é uma equação exata e pode ser escrita como

${\displaystyle dF(x,y)=0}$

sendo a sua solução geral

${\displaystyle F(x,y)=c}$

A função ${\displaystyle F}$ calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a ${\displaystyle M(x,y)}$ e ${\displaystyle N(x,y)}$.^[1]

Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral^[1]

${\displaystyle {dy \over dx}=f{\bigg (}{\frac {y}{x}}{\bigg )}}$

para resolver este tipo de equação usa-se a substituição

${\displaystyle v={\frac {y}{x}}\qquad \Longrightarrow \qquad {dy \over dx}=v+x{dv \over dx}}$

a qual transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma ${\displaystyle f(y/x)}$ observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de ${\displaystyle x}$ mais o expoente de ${\displaystyle y}$) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma ${\displaystyle f(y/x)}$ mas a segunda não

${\displaystyle {\frac {xy^{2}-x^{3}}{yx^{2}}}\qquad {\frac {xy+y}{2+x}}}$

Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogêneas. Um exemplo típico é a equação

${\displaystyle {dy \over dx}=f{\bigg (}{\frac {ax+by+c}{px+qy+r}}{\bigg )}}$

onde ${\displaystyle a,bc,p,q}$ e ${\displaystyle r}$ são constantes dadas.^[1] Se as constantes ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle r}$ fossem nulas, a equação seria homogênea; definimos um novo sistema de coordenadas ${\displaystyle (u,v)}$ para substituir ${\displaystyle (x,y)}$, de forma a obter

${\displaystyle {\begin{aligned}ax+by+c&=&au+bv\\px+qy+r&=&pu+qv\end{aligned}}}$

ou de forma equivalente

${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}{a(x-u)+b(y-v)=-c}\\\color {Blue}{p(x-u)+q(y-v)=-r}\end{aligned}}}$

a solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer

${\displaystyle x-u={\frac {\left|{\begin{array}{rr}-c&b\\-r&q\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{rr}a&b\\p&q\end{array}}\right|}}\qquad y-v={\frac {\left|{\begin{array}{rr}a&-c\\p&-r\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{rr}a&b\\p&q\end{array}}\right|}}}$

como os lados direitos da equação e da equação são constantes, também temos que ${\displaystyle dx=du}$, ${\displaystyle dy=dv}$ e a equação diferencial transforma-se numa equação homogênea

${\displaystyle {dv \over du}=f\left({\frac {au+bv}{pu+qv}}\right)}$

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem admitem duas soluções distintas que satisfazem a mesma condição inicial. Um exemplo simples de um equação que apresenta esse fenômeno é seguinte:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {dx}{dt}}={\sqrt {x}},~t>0\\x(0)=0\end{array}}\,}$

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{array}{lclc}x(t)&=&0,&0\leq t\leq t_{0}\\x(t)&=&{\frac {t^{2}}{4}},&t\geq 0\end{array}}\,}$

aqui ${\displaystyle t_{0}\,}$ é uma constante positiva qualquer.

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem apresentam uma solução que diverge em tempo finito. Um exemplo é a seguinte equação:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {dx}{dt}}=x^{2},~t>0\\x(0)=1\end{array}}\,}$

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{1-t}},0\leq t<1\,}$

Referências

• Retrato de fase

• Eric W. Weisstein, First-Order Ordinary Differential Equation no MathWorld.