Aproximação WKB

Em física matemática, a aproximação WKB ou método WKB é um método de encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais com coeficientes variando no espaço. É geralmente utilizado para cálculos quase-clássicos na mecânica quântica, na qual a função de onda é reescrita como uma função exponencial, quase-classicamente expandida, e em seguida a amplitude ou a fase é variada lentamente.

O nome é um acrônimo para Wentzel-Kramers-Brillouin. Também é conhecido como o método LG ou método de Liouville-Green. Outras siglas, muitas vezes utilizadas para o método, são JWKB e WKBJ, onde o "J" significa Jeffreys.

Breve história

Este método tem esse nome em homenagem aos físicos Wentzel, Kramers, e Brillouin, que o desenvolveram em 1926. Em 1923, o matemático Harold Jeffreys tinha desenvolvido um método geral de aproximar soluções para equações diferenciais de segunda ordem lineares, que inclui a equação de Schrödinger. Porém, apesar de a equação de Schrödinger ter sido desenvolvida dois anos depois, Wentzel, Kramers e Brillouin aparentemente desconheciam esse trabalho anterior, de modo que Jeffreys muitas vezes não recebe créditos pelo método. A literatura do início da mecânica quântica contém um número de combinações de suas iniciais, incluindo WBK, BWK, WKBJ, JWKB e BWKJ.

As referências anteriores ao método são: Carlini em 1817, Liouville em 1837, George Green em 1837, Rayleigh em 1912 e Gans em 1915. Pode-se dizer que Liouville e Green são os criadores do método, em 1837, que também é comumente referido como o método Liouville-Green ou método LG.^{[1] [2]}

A importante contribuição de Jeffreys, Wentzel, Kramers e Brillouin ao método foi a inclusão do tratamento dos pontos de retorno, que conectam as soluções evanescentes e oscilatórias em ambos os lados do ponto de retorno. Por exemplo, isso pode ocorrer na equação de Schrödinger, devido a um poço de energia potencial.

Método WKB

Geralmente, a aproximação WKB é um método para aproximar a solução de uma equação diferencial onde a derivada de maior ordem é multiplicada por um parâmetro ε pequeno. O método de aproximação é o seguinte:

Uma equação diferencial

${\displaystyle \epsilon {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a(x){\frac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+m(x)y=0}$

deve admitir uma solução em forma de série assintótica de expansão

${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right].}$

No limite ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$. A substituição do ansatz acima na equação diferencial e o cancelamento dos termos exponenciais permitem que se resolva para um número arbitrário de termos ${\displaystyle S_{n}(x)}$ na expansão. A teoria WKB é um caso especial de análise em escala múltipla.^[3][4][5]

Um exemplo

Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

onde ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$. Substituindo

${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$

resulta na equação

${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$

Como regra principal (assumindo, no momento, que a série será assintoticamente consistente), a expressão acima pode ser aproximada como

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$

No limite ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$,o termo dominante é dado por

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$

Assim, δ é proporcional a ε. Igualando-os e comparando as potências, temos

${\displaystyle \epsilon ^{0}:\;\;\;S_{0}'^{2}=Q(x),}$

que pode ser reconhecido como a equação eikonal, com solução

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt.}$

Comparando as potências de primeira ordem de ${\displaystyle \epsilon }$, vem

${\displaystyle \epsilon ^{1}:\;\;\;2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$

Esta é a equação de transporte unidimensional, que tem a solução

${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\log \left(Q(x)\right)+k_{1}\,,}$

onde ${\displaystyle k_{1}}$ é uma constante arbitrária. Agora temos um par de aproximações para o sistema (um par porque ${\displaystyle S_{0}}$ pode ser positivo ou negativo). A aproximação WKB de primeira ordem será uma combinação linear de:

${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right].}$

Os termos de ordem superior podem ser obtidos comparando-se as equações para potências mais altas de ε. Explicitamente,

${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0,}$

para ${\displaystyle n>2}$. Este exemplo vem do livro de Bender e Orszag (ver referências).

Precisão da série assintótica

A série assintótica para ${\displaystyle y(x)}$ em geral é uma série divergente cujo termo geral ${\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)}$ começa a aumentar após um certo valor ${\displaystyle n=n_{\max }}$. Portanto, o menor erro obtido pelo método WKB é, na melhor das hipóteses, da ordem do último termo incluído. Para a equação

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

com ${\displaystyle Q(x)<0}$ uma função analítica, o valor ${\displaystyle n_{\max }}$ e a magnitude do último termo podem ser estimados da seguinte forma (ver Winitzki 2005),

${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}dz{\sqrt {-Q(z)}}\right|,}$

${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$

onde ${\displaystyle x_{0}}$ é o ponto em que ${\displaystyle y(x_{0})}$ precisa ser avaliado e ${\displaystyle x_{\ast }}$ é o ponto de retorno (complexo) onde ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$, mais próximo de ${\displaystyle x=x_{0}}$. O número ${\displaystyle n_{\max }}$ pode ser interpretado como o número de oscilações entre ${\displaystyle x_{0}}$ e o ponto de retorno mais próximo. Se ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$ é uma função que varia lentamente,

${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},}$

o número ${\displaystyle n_{\max }}$ será grande, e o erro mínimo histórico da série assintótica será exponencialmente pequeno.

Aplicação à equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$

que pode ser reescrita como

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$

A função de onda pode ser reescrita como a exponencial de outra função Φ(que está intimamente relacionada com a ação):

${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},\!}$

de modo que

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),}$

onde ${\displaystyle \Phi '}$ indica a derivada de ${\displaystyle \Phi }$ em relação a x. A derivada ${\displaystyle \Phi '(x)}$ pode ser separada em partes real e imaginária, introduzindo as funções reaisAeB

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x).\;}$

A amplitude da função de onda é então ${\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!,}$ enquanto que a fase é ${\displaystyle \int ^{x}B(x')dx'\,\!.}$ As partes real e imaginária da equação de Schrödinger tornam-se, então

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;}$

Em seguida, faz-se a aproximação quase-clássica. Isto significa que cada função é expandida como uma série de potências em ${\displaystyle \hbar }$. A partir das equações, pode -se ver que a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de ${\displaystyle \hbar ^{-1}}$ para satisfazer a parte real da equação. A fim de alcançar um bom limite clássico, é necessário começar com a potência mais alta possível da constante de Planck:

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),}$

${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).}$

Para o termo de ordem zero, as condições sobre A e B podem ser escritas:

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;.}$

Se a amplitude varia suficientemente lenta em comparação com a fase (${\displaystyle A_{0}(x)=0}$), segue que

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}},}$

que só é válida quando a energia total é maior do que a energia potencial, como sempre acontece no movimento clássico. Após o mesmo procedimento para o próximo termo, segue-se que

Por outro lado, se é a fase que varia lentamente (em comparação com a amplitude), (${\displaystyle B_{0}(x)=0}$) e então

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}},}$

que só é válido quando a energia potencial é maior do que a energia total (o regime em que o tunelamento quântico ocorre). Encontrando os termos da expansão de próxima ordem

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}.}$

Decorre do denominador que ambas as soluções aproximadas tornam-se singulares próximas do ponto de retorno clássico, em que ${\displaystyle E=V(x)}$ e não podem ser mais válidas. Estas são as soluções aproximadas longe do potencial e abaixo do potencial. Longe do potencial, a partícula se move de maneira similar a uma onda viajante - a função de onda é oscilante. Abaixo do potencial, a partícula passa por variações exponenciais na amplitude.

Para completar a dedução, as soluções aproximadas devem ser encontradas em toda parte, e seus coeficientes devem ser combinados para construir-se uma única solução aproximada. A solução aproximada próxima aos pontos de retorno clássicos ${\displaystyle E=V(x)}$ ainda está para ser encontrada.

Para um ponto de retorno clássico ${\displaystyle x_{1}}$ e perto de ${\displaystyle E=V(x_{1})}$, o termo ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ pode ser expandido em uma série de potências.

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$

Para a primeira ordem, temos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$

Esta equação diferencial é conhecida como equação de Airy, e a solução pode ser escrita em termos das funções de Airy:

${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right).}$

Esta solução deve se conectar às soluções acima e abaixo. Dados os dois coeficientes de um dos lados do ponto de retorno clássico, os 2 coeficientes do outro lado do ponto de retorno clássico podem ser determinados por esta solução local que os conecta. Assim, uma relação entre ${\displaystyle C_{0},\theta }$ and ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$ pode ser encontrada.

Felizmente, as funções de Airy tendem assintoticamente ao seno, cosseno e funções exponenciais dos limites próprios. A relação pode ser encontrada como sendo da seguinte forma (muitas vezes referida como "fórmulas de conexão"):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{+}&=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},\\C_{-}&=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.\end{aligned}}}$

Agora as soluções totais (aproximadas) podem ser construídas.

Ver também

• Função de Airy
• Radiação
• Método de Laplace
• Teoria de Perturbações
• Tunelamento

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «WKB approximation», especificamente desta versão.

Referências atuais

• Razavy, Moshen (2003). Quantum Theory of Tunneling. [S.l.]: World Scientific. ISBN 981-238-019-1 
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 
• Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5 
• Sakurai, J. J. (1993). Modern Quantum Mechanics. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2 
• Bender, Carl; Orszag, Steven (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Olver, Frank J. W. (1974). Asymptotics and Special Functions. [S.l.]: Academic Press. ISBN 0-12-525850-X 

Referências históricas

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero. [S.l.]: Milano 
• Liouville, Joseph (1837). «Sur le développement des fonctions et séries..». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1: 16–35 
• Green, George (1837). «On the motion of waves in a variable canal of small depth and width». Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 6: 457–462 
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). «On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection». Proceedings of the Royal Society London, Series A. 86 (586): 207–226. Bibcode:1912RSPSA..86..207R. doi:10.1098/rspa.1912.0014 
• Gans, Richard (1915). «Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium». Annalen der Physik. 47: 709–736 
• Jeffreys, Harold (1924). «On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order». Proceedings of the London Mathematical Society. 23: 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428 
• Brillouin, Léon (1926). «La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives». Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 183: 24–26 
• Kramers, Hendrik A. (1926). «Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung». Zeitschrift für Physik. 39 (10–11): 828–840. Bibcode:1926ZPhy...39..828K. doi:10.1007/BF01451751 
• Wentzel, Gregor (1926). «Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik». Zeitschrift für Physik. 38 (6–7): 518–529. Bibcode:1926ZPhy...38..518W. doi:10.1007/BF01397171 

Ligações externas

• Fitzpatrick, Richard (2002). «The W.K.B. Approximation»  (An application of the WKB approximation to the scattering of rádio waves from the ionosphere.)