Wzór Wallisa – rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby „szybciej zbieżne”. Wzór Wallisa ma postać[1]:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots ={\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137e2bde92ba9dccabea31a715fbe7dbaeebd957)
Wyprowadzenie
Pierwiastki funkcji
są postaci
gdzie
jest liczbą całkowitą. Postępując a priori analogicznie jak w teorii wielomianów, funkcję tę przedstawia się jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f564ae341df86de9388ca12721a6131ae3f71daf)
gdzie
jest pewną stałą. Aby znaleźć granicę
zauważamy, że
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\ldots \right)=k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abd71fbae1f0701d110fd410fbc51688cabe579)
Korzystając z faktu, iż:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843a561722b19a7a7278798cf05e674b222a6093)
otrzymujemy
Następnie otrzymujemy wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus:
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc781938dc35a6e684b40b45312c7cc71f5b57fb)
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55cda7fdfc3c849075506b188a14c43af8fbcc9)
Podstawiając
![{\displaystyle {\frac {1}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\ldots =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4c50e47a42e8b553565a949ffb04fd2cb7117c)
Ostatecznie:
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939dbc0ea02d25a82e64d2faafada6f8720cd055)
Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla
jak i dla
można po krótkich obliczeniach zauważyć, że
zbiega do
przy
Wykres iloczynów częściowych
Przypisy
- ↑ Wallisa wzór, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-03] .
Bibliografia
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 127–128.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Wallis Formula, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Grant Sanderson, The Wallis product for pi, proved geometrically, kanał 3blue1brown na YouTube, 20 kwietnia 2018 [dostęp 2021-10-03].
- Britannica: topic/Wallis-product