Wzór Möbiusa

Wzór Möbiusa (twierdzenie Möbiusa o odwracaniu, odwracanie Möbiusa^[1]) – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Wzór pojawił się po raz pierwszy w pracach Dedekinda i Liouville’a w 1857r., 15 lat po wprowadzeniu przez Möbiusa funkcji ${\displaystyle \mu }$^[2].

Twierdzenie. Niech dane będą funkcje arytmetyczne ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g.}$ Następujące relacje są sobie równoważne:

${\displaystyle g(n)=\sum _{d|n}f(d)}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle \mu (d)}$ jest funkcją Möbiusa. Stosując oznaczenie splotu Dirichleta oznacza to, że ${\displaystyle g=f*1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f=\mu *g}$^[1][2][3][4].

Dowód. Przez ${\displaystyle 1(n)}$ oznaczamy funkcję arytmetyczną, która dla wszystkich argumentów przyjmuje własność 1. Pierwsze równanie opisuje zależność ${\displaystyle f=g*1.}$ Wiedząc, że funkcja ${\displaystyle u}$ jest odwrotna do funkcji ${\displaystyle \mu }$ względem splotu Dirichleta^[1][3] możemy zapisać ${\displaystyle f*\mu =g*1*\mu =g,}$ lewa strona równości odpowiada drugiemu równaniu powyżej, to kończy dowód^[3].

Rozważając odwracanie Möbiusa dla odpowiednio zdefiniowanych funkcji arytmetycznych ${\displaystyle {\tilde {f}},}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ i przyjmując ${\displaystyle f(n)=\exp({\tilde {f}}(n))}$ i ${\displaystyle g(n)=\exp({\tilde {g}}(n)),}$ twierdzenie możemy zapisać następująco.

Dla danych funkcji arytmetycznych ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$ zachodzi równość

${\displaystyle g(n)=\prod _{d|n}f(d)}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle f(n)=\prod _{d|n}g\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}.}$

Twierdzenie Möbiusa można uogólnić na funkcje niebędące funkcjami arytmetycznymi, ale o określonych własnościach. Uogólnioną postać wykorzystuje się szczególnie w analitycznej teorii liczb.

Twierdzenie^[5]. Niech ${\displaystyle F,G}$ będą funkcjami określonymi na zbiorze ${\displaystyle (0,\infty )}$ przyjmującymi wartości rzeczywiste lub zespolone, przy czym ${\displaystyle F(x)=G(x)=0}$ dla ${\displaystyle 0<x<1.}$ Ponadto, niech ${\displaystyle \alpha }$ będzie funkcją arytmetyczną o odwrotności względem splotu ${\displaystyle \alpha ^{-1}.}$ Wówczas

${\displaystyle G(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle F(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right).}$

W szczególności, jeśli ${\displaystyle \alpha }$ jest całkowicie multiplikatywna, to ${\displaystyle \alpha ^{-1}(n)=\mu (n)\alpha (n)}$ i wówczas

${\displaystyle G(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle F(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)\alpha (n)G\left({\frac {x}{n}}\right).}$

Zapis ${\textstyle \sum _{n\leqslant x}}$ oznacza tutaj sumę po wszystkich liczbach ${\displaystyle n}$ całkowitych dodatnich mniejszych lub równych danej liczbie rzeczywistej ${\displaystyle x.}$

Dowód. Oznaczając przez ${\displaystyle \alpha \circ F}$ funkcję

${\displaystyle (\alpha \circ F)(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right),}$

możemy wykazać, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ oraz funkcji ${\displaystyle F}$ zdefiniowanej na ${\displaystyle (0,\infty )}$ zachodzi łączność działania ${\displaystyle \circ ,}$ tzn.

${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha *\beta )\circ F.}$

Dla ${\displaystyle x>0}$ mamy

${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)\sum _{m\leqslant {\frac {x}{n}}}\beta (m)F\left({\frac {x}{mn}}\right)=\sum _{mn\leqslant x}\alpha (n)\beta (m)F\left({\frac {x}{mn}}\right)=\sum _{k\leqslant x}\left(\sum _{n|k}\alpha (n)\beta \left({\frac {k}{n}}\right)\right)F\left({\frac {x}{k}}\right).}$

Występująca suma po składnikach ${\displaystyle \alpha (n)\beta (k/n)}$ to w istocie splot Dirichleta ${\displaystyle (\alpha *\beta )(k),}$ więc równość zachodzi. Stąd, jeśli ${\displaystyle G=\alpha \circ F,}$ to

${\displaystyle \alpha ^{-1}\circ G=\alpha ^{-1}\circ (\alpha \circ F)=(\alpha ^{-1}*\alpha )\circ F=\epsilon \circ F=F,}$

gdzie ${\displaystyle \epsilon (1)=1}$ i ${\displaystyle \epsilon (n)=0}$ dla ${\displaystyle n>1.}$

 Osobny artykuł: Funkcja φ.

Niech ${\displaystyle \varphi }$ będzie tocjentem, tzn. dla dowolnej liczby całkowitej ${\displaystyle n\geqslant 1}$ niech ${\displaystyle \varphi (n)}$ oznacza liczbę liczb całkowitych ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n}$ względnie pierwszych z ${\displaystyle n.}$ Znane twierdzenie Eulera mówi, że

${\displaystyle n=\sum _{d|n}\varphi (d).}$

Twierdzenie Möbiusa mówi, że jest to równoważne relacji

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=n\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}.}$

Tę tożsamość możemy wykorzystać chociażby, aby uzasadnić, że średni rząd funkcji ${\displaystyle \varphi (n)}$ wynosi ${\displaystyle {\tfrac {3}{\pi ^{2}}}n.}$ Mamy

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\varphi (n)=\sum _{n\leqslant x}\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=\sum _{qd\leqslant x}\mu (d)q=\sum _{d\leqslant x}\mu (d)\sum _{q\leqslant x/d}q=\sum _{d\leqslant x}\mu (d)\left({\frac {x^{2}}{2d}}+O\left({\frac {x}{d}}\right)\right)={\frac {1}{2}}x^{2}\sum _{d\leqslant x}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d\leqslant x}{\frac {1}{d}}\right).}$

Suma ${\textstyle \sum \mu (d)/d^{2}}$ przy ${\displaystyle x\to \infty }$ dąży do wartości odwrotności funkcji zeta, ${\displaystyle \zeta (2)^{-1}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$ Suma w błędzie szacowania jest sumą częściową szeregu harmonicznego, więc jest rzędu logarytmu naturalnego. Dlatego

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\varphi (n)={\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}+O(x\log x).}$

Stąd wynika już wprost, że^[6]

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\varphi (n)\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}\sum _{n\leqslant x}n.}$

• funkcja Möbiusa
• splot Dirichleta