Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.
Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.
Twierdzenie
Załóżmy że:
(a) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) (dla ) jest funkcją mierzalną,
(c) dla pewnej funkcji całkowalnej mamy, że dla wszystkich i
(d) dla wszystkich istnieje granica niech funkcja będzie zdefiniowana przez
dla
Wówczas funkcja jest całkowalna oraz
i
Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego
Szkic dowodu
Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. oraz (dla wszystkich ), a stąd jest całkowalna. Zauważmy, że (dla każdego ), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji
Ponieważ to otrzymujemy wówczas, że
Stąd już wnioskujemy, że a zatem Ponieważ to możemy też wywnioskować, że
Przykład
Istotność założenia (c)
Rozważmy odcinek wyposażony w miarą Lebesgue’a Dla liczby naturalnej zdefiniujemy funkcję przez
Wtedy dla natomiast
A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.