Pierścień noetherowski

Pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie inkluzji) jego ideałów I 1 ⊆ I 2 ⊆ I 3 ⊆ … {\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \dots } stabilizuje się, tzn. istnieje n ∈ N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} dla którego I n = I n + 1 = … ; {\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\dots ;} mówi się też wtedy, że w pierścień spełnia warunek rosnących łańcuchów (ACC) dla ideałów; pojęcie nosi nazwisko Emmy Noether.

Równoważnie pierścień R {\displaystyle R} jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał właściwy jest skończenie generowany, tzn. dla każdego ideału I ◃ R {\displaystyle I\triangleleft R} istnieją takie elementy a 1 , a 2 , … , a k ∈ R , {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\in R,} dla których

I = { a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a k x k : x 1 , x 2 , … x k ∈ R } . {\displaystyle I=\{a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}:x_{1},x_{2},\ldots x_{k}\in R\}.}

Można też powiedzieć, że pierścień R {\displaystyle R} jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia R . {\displaystyle R.}

Prawdziwe jest również twierdzenie Hilberta o bazie: jeżeli pierścień R {\displaystyle R} jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów R [ X ] {\displaystyle R[X]} również jest noetherowski.

Przykłady

  • Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
  • Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim (co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym).

Zobacz też

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Noetherian ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].