Półnorma

Półnorma (lub seminorma) – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, tj. funkcja ${\displaystyle p\colon X\to [0,\infty ),}$ gdzie X jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki

1. ${\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y),}$
2. ${\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |p(x)}$

dla wszystkich elementów ${\displaystyle x,y}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ oraz wszystkich skalarów ${\displaystyle \alpha .}$

Jeżeli ${\displaystyle p}$ jest półnormą w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leqslant p(x-y)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in X,}$
• ${\displaystyle p(x)\geqslant 0}$ dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in X,}$
• ${\displaystyle p(0)=0.}$

Ponadto zbiór

${\displaystyle \{x\in X\colon \,p(x)=0\}}$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle X,}$ a zbiór

${\displaystyle \{x\in X\colon \,p(x)<1\}}$

jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz ${\displaystyle p}$ jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

• Jeżeli ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał Minkowskiego ${\displaystyle \mu _{A}}$ jest półnormą.
• Każda norma jest półnormą.

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią liniową, to rodzinę ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ półnorm w przestrzeni ${\displaystyle X}$ nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X\setminus \{0\}}$ istnieje półnorma ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ że ${\displaystyle p(x)\neq 0.}$

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego

${\displaystyle \{\mu _{A}\colon \,U\in {\mathcal {B}}\},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest bazą lokalną przestrzeni ${\displaystyle X,}$ złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej ${\displaystyle X}$ oraz

${\displaystyle U(p,n)=\{x\in X\colon \,p(x)<{\tfrac {1}{n}}\}}$ dla ${\displaystyle p\in P}$ i ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}={\big \{}\bigcap _{k=1}^{m}U(p_{k},n_{k})\colon \,p_{1},\dots ,p_{m}\in {\mathcal {P}},\,n_{1},\dots ,n_{m}\in \mathbb {N} ,\,m\in \mathbb {N} {\big \}},}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)=\{x+U\colon \,U\in {\mathcal {B}}\}}$ dla ${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}={\big \{}\bigcup {\mathcal {R}}\colon \,{\mathcal {R}}\subseteq \bigcup _{x\in X}{\mathcal {B}}(x){\big \}}.}$

Wówczas

• ${\displaystyle (X,+,\cdot ,{\mathcal {T}})}$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
• Każda półnorma z rodziny ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ jest funkcją ciągłą.
• Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ istnieje ${\displaystyle M\in (0,\infty ),}$ że dla każdego ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle p(x)\leqslant M.}$

• Ciąg ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ punktów przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest zbieżny do punktu ${\displaystyle x\in X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p(x_{n}-x)=0.}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm

${\displaystyle \{\mu _{A}\colon \,U\in {\mathcal {B}}\}}$

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja ${\displaystyle \varrho \colon X\times X\to [0,\infty )}$ dana wzorem

${\displaystyle \varrho (x,y)=\max\{\varepsilon _{n}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}$

jest metryką w zbiorze ${\displaystyle X}$ wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$ Ponadto ${\displaystyle \varrho }$ jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym i wypukłym.

• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001. Brak numerów stron w książce

• Semi-norm, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].