Odwzorowanie nierozszerzające

Ten artykuł od 2023-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Odwzorowanie nierozszerzające, nieoddalające^[1], słaba kontrakcja – odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów. Formalnie: niech ${\displaystyle (X,d_{X})}$ oraz ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ zachodzi nierówność^[1]:

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant d_{X}(x_{1},x_{2}).}$

Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.

Własności

Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.

W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej ${\displaystyle X}$ w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Przy dodatkowych założeniach o ${\displaystyle X}$ można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli ${\displaystyle X}$ jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera-Goehde’a-Kirka).

Teoria kategorii

Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.

Przypisy

Bibliografia

• Jarosław Górnicki: Okruchy matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. ISBN 978-83-01-16002-9.