Nierówność Shapiro

Nierówność Shapiro – nierówność zaproponowana przez amerykańskiego matematyka Shapiro w 1954 r.

Niech x 1 , x 2 , … , x n > 0 , n ∈ N {\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{n}>0,\;n\in \mathbb {N} } oraz

n ⩽ 12 {\displaystyle n\leqslant 12} będzie liczbą parzystą
albo
n ⩽ 23 {\displaystyle n\leqslant 23} będzie liczbą nieparzystą.

Oznaczmy także x n + 1 = x 1 , x n + 2 = x 2 . {\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}.} Wówczas zachodzi

n 2 ⩽ ∑ i = 1 n   x i x i + 1 + x i + 2 . {\displaystyle {\frac {n}{2}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}~{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}.}

Nierówność ta dla n = 3 nazywana jest nierównością Nesbitta.

Dla większych wartości n nierówność nie zachodzi, a ostrym ograniczeniem dolnym jest γ n , {\displaystyle \gamma n,} gdzie γ ≈ 0,494 {\displaystyle \gamma \approx 0{,}494} jest równe ψ ( 0 ) / 2 , {\displaystyle \psi (0)/2,} gdzie ψ {\displaystyle \psi } jest największą funkcją wypukłą, której wykres leży poniżej wykresów y = e − x {\displaystyle y=e^{-x}} oraz y = 2 ( e x + e x 2 ) − 1 . {\displaystyle y=2\left(e^{x}+e^{\frac {x}{2}}\right)^{-1}.} Wartość tej stałej znalazł w 1969 Vladimir Drinfeld.

Dowód nierówności dla n = 1 i n = 2

Dowód nierówności dla n = 1 {\displaystyle n=1} oraz n = 2 {\displaystyle n=2} jest trywialny.

Gdy n = 1 {\displaystyle n=1} nierówność Shapiro ma postać:

x 1 2 x 1 ⩾ 1 2 , {\displaystyle {\frac {x_{1}}{2x_{1}}}\geqslant {\frac {1}{2}},}

czyli 1 2 ⩾ 1 2 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}\geqslant {\frac {1}{2}},}

gdy n = 2 {\displaystyle n=2} nierówność Shapiro jest postaci:

x 1 x 1 + x 2 + x 2 x 2 + x 1 ⩾ 1 , {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{2}}{x_{2}+x_{1}}}\geqslant 1,}

czyli x 1 + x 2 x 1 + x 2 ⩾ 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 1}

1 ⩾ 1. {\displaystyle 1\geqslant 1.}

Dowód nierówności dla n = 3

Skorzystamy z następującego lematu:

∀ x ∈ R + x + 1 x ⩾ 2. {\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} _{+}}x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2.}

Dowód lematu:

Niech x {\displaystyle x} będzie dowolną liczbą dodatnią. Mamy:

x + 1 x ⩾ 2 ⟺ x 2 + 1 ⩾ 2 x ⟺ x 2 − 2 x + 1 ⩾ 0 ⟺ ( x − 1 ) 2 ⩾ 0. {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2\iff x^{2}+1\geqslant 2x\iff x^{2}-2x+1\geqslant 0\iff (x-1)^{2}\geqslant 0.}

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Dowód Nierówności Shapiro, gdy n = 3 : {\displaystyle n=3{:}}

Mamy wykazać, że:

∀ x 1 , x 2 , x 3 ∈ R + x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 1 + x 3 x 1 + x 2 ⩾ 3 2 ( ∗ ) {\displaystyle \forall _{x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} _{+}}{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant {\frac {3}{2}}\qquad \qquad (*)}

Oznaczmy a = x 2 + x 3 , {\displaystyle a=x_{2}+x_{3},} b = x 3 + x 1 , {\displaystyle b=x_{3}+x_{1},} c = x 1 + x 2 . {\displaystyle c=x_{1}+x_{2}.} Zatem:

x 1 = 1 2 ( b + c − a ) , {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}(b+c-a),}
x 2 = 1 2 ( a + c − b ) , {\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}(a+c-b),}
x 3 = 1 2 ( a + b − c ) . {\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}(a+b-c).}

Nierówność ( ∗ ) {\displaystyle (*)} możemy więc zapisać następująco:

b + c − a 2 a + a + c − b 2 b + a + b − c 2 c ⩾ 3 2 , {\displaystyle {\frac {b+c-a}{2a}}+{\frac {a+c-b}{2b}}+{\frac {a+b-c}{2c}}\geqslant {\frac {3}{2}},} kolejne nierówności są równoważne:
b + c − a a + a + c − b b + a + b − c c ⩾ 3 {\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}+{\frac {a+c-b}{b}}+{\frac {a+b-c}{c}}\geqslant 3}
b a + c a − 1 + a b + c b − 1 + a c + b c − 1 ⩾ 3 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}-1+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}-1+{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}-1\geqslant 3}
b a + c a + a b + c b + a c + b c ⩾ 6 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}\geqslant 6}
( b a + a b ) + ( b c + c b ) + ( a c + c a ) ⩾ 6 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle \left({\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}\right)+\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geqslant 6\qquad \qquad (**)}

Na mocy lematu mamy:

b a + a b ⩾ 2 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}\geqslant 2}
b c + c b ⩾ 2 {\displaystyle {\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\geqslant 2}
a c + c a ⩾ 2 {\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\geqslant 2}

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy nierówność ( ∗ ∗ ) , {\displaystyle (**),} co dowodzi, że nierówność ( ∗ ) {\displaystyle (*)} jest prawdziwa.

Dowód nierówności dla n = 4

Udowodnimy najpierw następujący lemat:

∀ x , y ∈ R + 1 x + 1 y ⩾ 4 x + y {\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {R} +}{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}\geqslant {\frac {4}{x+y}}}

Dowód lematu:

Dla dowolnych dodatnich x , y {\displaystyle x,y} zachodzi ( x − y ) 2 ⩾ 0. {\displaystyle (x-y)^{2}\geqslant 0.} Mamy:

( x − y ) 2 ⩾ 0 ⇒ x 2 + y 2 ⩾ 2 x y ⇒ x 2 + y 2 x y ⩾ 2 ⇒ x y + y x ⩾ 2 ⇒ 2 + x y + y x ⩾ 4 ⇒ x + y x + x + y y ⩾ 4 ⇒ 1 x + 1 y ⩾ 4 x + y , {\displaystyle (x-y)^{2}\geqslant 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy\Rightarrow {\frac {x^{2}+y^{2}}{xy}}\geqslant 2\Rightarrow {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geqslant 2\Rightarrow 2+{\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geqslant 4\Rightarrow {\frac {x+y}{x}}+{\frac {x+y}{y}}\geqslant 4\Rightarrow {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}\geqslant {\frac {4}{x+y}},} c. n. d.

Dowód Nierówności Shapiro dla n = 4:

Mamy wykazać, że ∀ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R + x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ⩾ 2 {\displaystyle \forall _{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb {R} _{+}}{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 2}

Zauważmy, że:

2 ( x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ) = {\displaystyle 2\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)=}
= ( x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 4 + x 1 + x 4 + x 1 x 1 + x 2 ) + ( x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 ) − 4 + ( x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ) {\displaystyle =\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\right)+\left({\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\right)-4+\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)}

Na mocy nierówności Cauchy’ego mamy:

x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 4 + x 1 + x 4 + x 1 x 1 + x 2 4 ⩾ x 1 + x 2 x 2 + x 3 ⋅ x 2 + x 3 x 3 + x 4 ⋅ x 3 + x 4 x 4 + x 1 ⋅ x 4 + x 1 x 1 + x 2 4 = 1 4 = 1 , {\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}\cdot {\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}\cdot {\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}\cdot {\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}}}={\sqrt[{4}]{1}}=1,}

czyli:

x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 4 + x 1 + x 4 + x 1 x 1 + x 2 ⩾ 4 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 4}

Mamy zatem:

( x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 4 + x 1 + x 4 + x 1 x 1 + x 2 ) + ( x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 ) − 4 + ( x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ) ⩾ {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\right)+\left({\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\right)-4+\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)\geqslant }
⩾ 4 + ( x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 ) − 4 + ( x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ) = {\displaystyle \geqslant 4+\left({\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\right)-4+\left({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\right)=}
= x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 = {\displaystyle ={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}=}
= ( x 1 + x 3 ) ( 1 x 2 + x 3 + 1 x 4 + x 1 ) + ( x 2 + x 4 ) ( 1 x 3 + x 4 + 1 x 1 + x 2 ) {\displaystyle =(x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)}

Na mocy lematu mamy:

( x 1 + x 3 ) ( 1 x 2 + x 3 + 1 x 4 + x 1 ) + ( x 2 + x 4 ) ( 1 x 3 + x 4 + 1 x 1 + x 2 ) ⩾ {\displaystyle (x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)\geqslant }
⩾ ( x 1 + x 3 ) ( 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + ( x 2 + x 4 ) ( 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) = ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) ( 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 {\displaystyle \geqslant (x_{1}+x_{3})\left({\frac {4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\right)=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\left({\frac {4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\right)=4}

Zatem udowodniliśmy nierówność:

2 ( x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ) ⩾ 4 {\displaystyle 2({\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}})\geqslant 4}

która jest równoważna nierówności

x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 ⩾ 2 , {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 2,} cnd.

Zobacz też

Bibliografia

  • Rozdział 10. W: Lev Kourliandtchik: Słynne nierówności. Wydawnictwo Aksjomat, 2002. ISBN 83-87329-29-0.

Linki zewnętrzne

  • referat na temat Nierówności Shapiro