Lemat Nakayamy

Lemat Nakayamy – lemat w algebrze przemiennej. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska japońskiego matematyka Tadashiego Nakayamy^[1].

Każdy z podanych niżej lematów funkcjonuje w literaturze jako lemat Nakayamy.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie pierścieniem przemiennym z 1 i niech ${\displaystyle I}$ będzie jego ideałem.

Lemat 1.^[2] Jeśli ${\displaystyle M}$ jest skończonym ${\displaystyle A}$-modułem spełniającym równość ${\displaystyle M=IM,}$ to istnieje element ${\displaystyle a}$ pierścienia ${\displaystyle A,}$ taki że ${\displaystyle aM=0,}$ oraz ${\displaystyle a\equiv 1{\text{ mod }}I.}$ Jeśli dodatkowo wiadomo, że ideał ${\displaystyle I}$ jest zawarty w radykale Jacobsona ${\displaystyle A,}$ to ${\displaystyle M=0.}$

Lemat 2.^[2] Załóżmy, że ${\displaystyle I}$ jest zawarty w radykale Jacobsona ${\displaystyle A.}$ Niech ${\displaystyle M}$ będzie ${\displaystyle A}$-modułem i niech ${\displaystyle N}$ będzie jego podmodułem, takim że ${\displaystyle M/N}$ jest skończony nad ${\displaystyle A}$ (tzn. ${\displaystyle M/N}$ jest skończenie generowanym ${\displaystyle A}$-modułem). Wówczas jeśli ${\displaystyle M=N+IM,}$ to ${\displaystyle M=N.}$

Dowód: Oznaczmy ${\displaystyle {\overline {M}}=M/N.}$ Mamy ${\displaystyle I{\overline {M}}=(IM+N)/N=M/N={\overline {M}}.}$ Zatem z lematu 1, ${\displaystyle {\overline {M}}=0}$ co oznacza, że ${\displaystyle M=N.}$

Lemat 3.^[3] Zakładamy, że ideał ${\displaystyle I}$ jest zawarty w radykale Jacobsona ${\displaystyle A}$ oraz że ${\displaystyle M}$ jest skończenie generowanym ${\displaystyle A}$ modułem. Jeśli obrazy elementów ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}\in M}$ w ${\displaystyle M/IM}$ generują ${\displaystyle M/IM}$ jako ${\displaystyle A}$-moduł, to elementy te generują ${\displaystyle M}$ jako ${\displaystyle A}$-moduł.

Dowód: Mamy ${\displaystyle M=IM+\sum _{j}Rm_{j}.}$ Stąd i z lematu 2 dostajemy tezę.