Ten artykuł od 2019-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji.Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag i węzłów interpolacji aby wyrażenie
najlepiej przybliżało całkę
gdzie jest dowolną funkcją określoną na odcinku a jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki
- jest skończona,
- Jeżeli jest wielomianem takim, że to jeśli mamy wtedy
Określmy iloczyn skalarny z wagą
Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego, jeśli
Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:
a) Jeżeli są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego oraz są rozwiązaniami układu równań:
to dla każdego wielomianu stopnia nie większego niż zachodzi
Ponadto
b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów oraz ciągu wag dla dowolnego wielomianu stopnia nie większego niż zachodzi warunek (*), to oraz z dokładnością do kolejności.
c) Dla dowolnego ciągu węzłów oraz ciągu wag istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).
Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa
Kwadratury z przedziału z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre’a
gdzie to pierwiastki i-tego wielomianu Legendre’a.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa
gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite’a
gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite’a.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre’a
gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre’a.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego
Zobacz też
- analiza numeryczna
- metoda numeryczna
- metody Newtona-Cotesa