Ideał główny

Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli ${\displaystyle a}$ jest elementem pierścienia ${\displaystyle R}$ z jedynką, to:

• prawostronny ideał główny ${\displaystyle aR}$ jest równy

${\displaystyle \{a\cdot b}$ ${\displaystyle \colon b\in R\},}$

• lewostronny ideał główny ${\displaystyle Ra}$ jest równy

${\displaystyle \{b\cdot a}$ ${\displaystyle \colon b\in R\},}$

• dwustronny ideał główny ${\displaystyle RaR}$ jest równy

${\displaystyle \{b_{1}\cdot a\cdot b'_{1}+\dots +b_{n}\cdot a\cdot b'_{n}\colon b_{i},b'_{i}\in R\}.}$

Jeśli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element ${\displaystyle a}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ oznacza się ${\displaystyle (a).}$ Mówi się, że ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w ${\displaystyle R}$ są główne. Dodatkowo, gdy ${\displaystyle R}$ jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są niezerowymi elementami pierścienia ${\displaystyle R,}$ to ${\displaystyle (a)=(b)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a\sim b,}$ przy czym ${\displaystyle \sim }$ oznacza relację stowarzyszenia tj. ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle a}$ dzieli ${\displaystyle b}$ oraz ${\displaystyle b}$ dzieli ${\displaystyle a.}$
• Jeżeli ${\displaystyle K}$ jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów ${\displaystyle K[x]}$ jest główny.

Przykłady

• Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest ideałem głównym i jest postaci

${\displaystyle (n)=\{n\cdot a\colon a\in \mathbb {Z} \}.}$

• Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right].}$ Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&a\\0&b\end{smallmatrix}}\right],}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}c&d\\0&0\end{smallmatrix}}\right],}$ gdzie ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle d}$ są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
• Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia

• J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.brak strony w książce
• Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6.
• Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2.
• AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .brak strony (książka)