Funkcja trójkątna Funkcja trójkątna jest zdefiniowana jako:
tri ( t ) = ∧ ( t ) = d e f max ( 1 − | t | , 0 ) = { 1 − | t | , | t | < 1 0 , dla innych t {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\land (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-|t|,0)\\&={\begin{cases}1-|t|,&|t|<1\\0,&{\mbox{dla innych }}t\end{cases}}\end{aligned}}} lub, co jest równoważne, jako splot dwóch identycznych jednostkowych funkcji prostokątnych :
tri ( t ) = rect ( t ) ∗ rect ( t ) = d e f ∫ − ∞ ∞ r e c t ( τ ) ⋅ r e c t ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ r e c t ( τ ) ⋅ r e c t ( τ − t ) d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau .\end{aligned}}} Splot dwóch funkcji prostokątnych. Kolorem żółtym oznaczono pole będące wartością funkcji splotu w chwili t . Funkcja ta ma zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów . Jest przykładem idealnego sygnału, którego cechy można odnaleźć w sygnałach rzeczywistych. Jednym z jej zastosowań jest Okno Trójkątne lub Okno Bartletta .
Skalowanie Dla dowolnego parametru a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} zachodzi:
tri ( t / a ) = ∫ − ∞ ∞ r e c t ( τ ) ⋅ r e c t ( τ − t / a ) d τ = { 1 − | t / a | , | t | < | a | 0 , dla innych t . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t/a)&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t/a)\ d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|\\0,&{\mbox{dla innych }}t.\end{cases}}\end{aligned}}}
Transformatę Fouriera funkcji trójkątnej można łatwo uzyskać, korzystając z twierdzenia o splocie i transformaty funkcji prostokątnej :
F { tri ( t ) } = F { rect ( t ) ∗ rect ( t ) } = F { rect ( t ) } ⋅ F { rect ( t ) } = F { rect ( t ) } 2 = s i n c 2 ( f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f).\end{aligned}}}
Zobacz też