Całki Fresnela Całka Fresnela – dwie funkcje specjalne S ( x ) {\displaystyle S(x)} i C ( x ) , {\displaystyle C(x),} zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela , zdefiniowane następująco:
S ( x ) = ∫ 0 x sin ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 3 ( 4 n + 3 ) ( 2 n + 1 ) ! , {\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},} C ( x ) = ∫ 0 x cos ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 1 ( 4 n + 1 ) ( 2 n ) ! . {\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.} Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik π 2 . {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}.}
Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.
Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.
Wybrane własności Funkcje C ( x ) {\displaystyle C(x)} i S ( x ) {\displaystyle S(x)} dla x {\displaystyle x} rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi .
Związek z funkcją błędu :
C ( z ) + i S ( z ) = π 8 ( 1 + i ) e r f ( ( 1 − i ) z 2 ) . {\displaystyle C(z)+iS(z)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}(1+i)\,\mathrm {erf} \left({\frac {(1-i)z}{2}}\right).} Wartości graniczne dla x {\displaystyle x} rzeczywistego:
lim x → ∞ C ( x ) = lim x → ∞ S ( x ) = π 8 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }C(x)=\lim _{x\to \infty }S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}},} lim x → − ∞ C ( x ) = lim x → − ∞ S ( x ) = − π 8 . {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }C(x)=\lim _{x\to -\infty }S(x)=-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}
Klotoida Osobny artykuł: Klotoida. Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera , to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji S ( t ) {\displaystyle S(t)} względem C ( t ) . {\displaystyle C(t).} Ponieważ t {\displaystyle t} jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.
Linki zewnętrzne Jerzy Kosek, Obliczenia całek Fresnela przez rozkład na szereg funkcji Bessela rzędu połówkowego. interferencja.republika.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-05-09)]. Funkcje specjalne
pogrupowane według tego, jak są definiowane
złożeniem i odwracaniem funkcji elementarnych funkcja Gudermanna funkcja W Lamberta szeregami ζ (dzeta Riemanna) η (eta) całkami z funkcji równaniami różniczkowymi