od 2024-03 → zweryfikować treść i dodać przypisy, od 2024-04 → usunąć/zweryfikować prawdopodobną twórczość własną. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
0,(9) (lub 0,999…) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość można udowodnić na kilka sposobów.
Dowody
Dowód 1.
Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka w postaci liczby dziesiętnej Z równości natychmiast wynika
Podobnie ułamek można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej Stąd
W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:
Podobnie dla poniższych rozkładów
itd.
Dowód 2.
Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:
Dowód 3.
Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:
i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym dostaniemy: