Gaussisk heltall

Gaussisk tall er et komplekst tall hvor både realdelen og imaginærdelen er heltall. Typiske eksempel er derfor 7 + 6i, 5 - 3i, men også 2 og -4i  hvor i = √-1 er den imaginære enheten. Tallene utgjør en matematisk ring Z[i ] hvor man kan utføre addisjon og multiplikasjon på vanlig måte.

De gaussiske heltallene har mange av de samme egenskapene som de vanlige heltallene Z. I den utvidete ringen Z[i ] kan primtall defineres, og hvert tall har en éntydig faktorisering som produkt av slike primtall i overensstemmelse med aritmetikkens fundamentalteorem. En bestemt klasse av vanlige primtall i Z kan faktoriseres i ringen Z[i ] av gaussiske heltall.

Navnet til tallene viser tilbake til den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss. Han ga en systematisk fremstilling av deres egenskaper i sitt store verk Disquisitiones Arithmeticae fra 1801 i forbindelse med studiet av kvadratiske rester og deres utvidelse til kongruenser av høyere grad.

Definisjon

Hvert gaussisk heltall kan skrives som

${\displaystyle z=a+bi}$

hvor i er den imaginære enheten, mens a og b er heltall i den vanlige tallringen Z. De gaussiske heltallene er derfor spesielle, komplekse tall. Summen av to slike tall er dermed

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=a_{1}+b_{1}i+a_{2}+b_{2}i=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i}$

som er et nytt tall av samme sort. Denne egenskapen har også produktet av de to heltallene,

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i}$

slik at de danner en ny ring. Den betegnes vanligvis med Z[i ] som en påminnelse om at den er en utvidelse av de vanlige heltallene Z basert på den imaginære enheten.^[1]

Norm

Størrelsen av komplekse tall blir vanligvis angitt ved deres absoluttverdi. For gaussiske heltall er det mer vanlig å benytte kvadratet av denne som gir dets norm.^[2] For det gaussisk heltallet z = a + bi er den definert ved

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)=z^{*}z}$

og er derfor et positivt heltall. Normen av et produkt oppfyller

${\displaystyle N(z_{1}z_{2})=N(z_{1})N(z_{2})}$

som betyr at

${\displaystyle (a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}}$

Denne identiteten for summen av to kvadrat kan føres tilbake til Diofant og den indiske matematiker Brahmagupta som levde noen hundre år senere.

Gaussiske heltall som har norm N = 1, kalles for enheter. Det er fire av dem, nemlig 1, -1, i  og -i. De har også den egenskapen at hver av dem a har sin egen invers a^-1 slik at a⋅a^-1 = 1 i overensstemmelse med den vanlige definisjonen av enheter. For eksempel er (-1)⋅(-1) = 1 og -i⋅i = 1. Sammen danner disse fire tallene en syklisk gruppe generert av elementet i. Blant de vanlige heltallene Z er bare 1 og -1 enheter.^[1]

Faktorisering

Noen vanlige primtall kan skrives som produkt av gaussiske heltall. For eksempel er 2 = (1 + i )(1 - i ). Ved å ta med enheter kan man også skrive dette som 2 = i (1 - i )². På samme måte er 5 = (2 + i )(2 - i ), mens en slik oppsplitting er umulig for primtallene 3 eller 7.

Faktorisering av vanlige tall kan systematisk gjennomføres ved bruk av Euklids algoritme. Den kan utvides til å gjelde også for gaussiske heltall. Hvis normen til z₁ er større enn normen til z₂, kan man da bestemme to nye gaussiske heltall w₁ og w₂ slik at

${\displaystyle z_{1}=w_{1}z_{2}+w_{2}}$

Her må resten w₂ ha en norm som er mindre enn den til z₂. Dette kan gjøres på flere forskjellige måter slik at hvert stepp i algoritmen ikke er helt éntydig. Men likevel gir den et éntydig resultat for største felles faktor for de to tallene z₁ og z₂. Dermed kan den også benyttes til å gi en éntydig faktorisering av hvert gaussisk heltall når man ser bort fra enheter. Den gaussiske heltallsringen Z[i ] er derfor euklidsk.^[3]

Gaussiske primtall

Resultatet av en fullstendig faktorisering av et gaussisk heltall z er et produkt av «gaussiske primtall». Hvert stepp i en slik faktorisering tilsvarer en oppsplitting z = z₁⋅z₂. Da normen til til z er produktet av normene til z₁ og z₂, vil hvert gaussisk heltall med en faktoriserbar norm være faktoriserbart. For eksempel har tallet z = 3 + i normen N = 10 = 2⋅5 og er derfor faktoriserbart. Nå er N(1 + i ) = 2 og N(2 - i ) = 5 slik at man har

${\displaystyle 3+i=(1+i)\cdot (2-i)}$

hvor begge faktorene er gaussiske primtall. Derimot er 3 + 2i et gaussisk primtall da N(3 + 2i ) = 13 ikke kan faktoriseres i vanlige primtall.

Generelt for det gaussiske heltallet z = a + bi er normen N(z ) = a² + b². Dette er et primtall når det kan skrives som 4n + 1 for et vanlig heltall n. Da det er en sum av to kvadrater, kalles det et pytagoreiske primtall. De resterende primtall på formen 4n + 3 kan ikke skrives på denne måten.^[2]

Hvis man ser bort fra enheter, har man da det minste, gaussiske primtallet som er 1 + i  med norm 2. Det er et pytagoreisk primtall. Andre slike pytagoreiske primtall kan også faktoriseres i gaussiske primtall. For eksempel er 5 = (2 + i )⋅(2 - i ) og 13 = (3 + 2i )⋅(3 - 2i ). Den siste gruppen av gaussiske primtall kan skrives som a + bi  hvor a er et vanlig primtall på formen 4n + 3 og b = 0 eller omvendt. De befinner seg derfor kun langs de to aksene i det komplekse planet.

Referanser

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, Gaussian integer, Wolfram MathWorld
• Youtube, The Basics of Gaussian Integers , enkel orientering