Elliptisk partiell differensialligning
En elliptisk partiell differensialligning er en andreordens differensialligning der koeffisientene oppfyller visse krav. Ut fra disse kravene kan man utlede ønskelige egenskaper ved slike ligninger, slik som eksistens av løsning og begrensninger på maksimumsverdier. Elliptiske partielle differensialligninger omfatter en stor klasse av ulike kjente partielle differensialligninger, herunder de gitt ved Laplace-operatoren, som igjen blant annet brukes for å formulere Laplace-ligningen og Poisson-ligningen.
En elliptisk partiell differensialligning formuleres ved hjelp av differensialoperatoren, med gitte koeffisienter. Dersom koeffisientene utgjør indekser i en positiv definitt matrise, regnes ligningen for å være elliptisk. Andre mulige klassifiseringer av partielle differensialligninger er hyperbolsk og parabolsk.
Definisjon
Dersom er en partiell differensialoperator, gitt på divergensform ved
sier vi at er elliptisk dersom det eksisterer en konstant slik at
for alle og for alle . Her er Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «http://localhost:6011/no.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle a_{ij}} er reelle funksjoner fra , og en vektor.[1]
Eksempel
La , og se på Laplace-ligningen gitt ved
Her blir , Kronecker-delta-funksjonen, dvs. , og . Da er
så betingelsen gitt over holder med og ligningen er altså elliptisk.
Bilineær form
For en gitt elliptisk differensialoperator , og et gitt underrom er den assosierte bilineære formen gitt ved
for alle , der er et Sobolev-rom bestående av alle funksjoner som er én gang deriverbar og null på randen av U.[1]
Dersom man ønsker å løse randverdiproblemet
for en gitt og en ukjent , sier man at er en svak løsning dersom
for alle , der betegner indreproduktet i . Betingelser for eksistens av slike løsninger er gitt ved Lax-Milgrams teorem.[1]
Referanser
- ^ a b c Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. s. 314–317. ISBN 978-0-8218-4974-3.