In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het standaardinproduct of canonieke inproduct het inwendige product dat normaal in de reële en complexe vectorruimte wordt gebruikt. Afstand of lengte en hoek kunnen met behulp van het standaardinproduct worden gedefinieerd.
Definitie
Reëel standaardinproduct
Het standaardinproduct
van twee vectoren
is gedefinieerd als
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52b72d0d6fc440ce12c5e903b97c210e277ee28)
Vat men
en
op als kolomvectoren:
,
dan kan het standaardinproduct als matrixproduct worden geschreven:
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {y} =\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b16c70ec8195df0aee2d8f77131289e1d15fec)
Complex standaardinproduct
Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren
bestaan twee vormen.
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc7db0e0fdd3acaa61e42c47a4de0266a14b1d9)
en
.
De beide vormen verschillen alleen daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:
.
Vat men
en
als kolomvectoren op:
,
dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:
.
Eigenschappen
Het reële standaardinproduct heeft de eigenschap dat voor iedere reële vierkante matrix
van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:
.
Voor het complexe standaardinproduct geldt een soortgelijke de eigenschap, namelijk dat voor iedere complexe vierkante matrix
van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:
.
Afgeleide begrippen
Norm
De norm van een reële of complexe vector
die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:
.
Afstand
De euclidische afstand
tussen twee reële of complexe vectoren
en
van de euclidische norm wordt met behulp van de stelling van Pythagoras afgeleid:
.
Hoek
De hoek
tussen twee reële vectoren
en
wordt met behulp van de cosinus van het reële standaardinproduct afgeleid:
![{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\ \|y\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f273f856e5e500406b930d4ad9feed1abf3d7535)
Orthogonaliteit
Twee reële of complexe vectoren
en
zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:
.
In het geval van dat twee reële vectoren
en
orthogonaal zijn, betekent dat dat
.
Vectorruimten
Het inwendige product van twee vectoren
en
in een
-dimensionale vectorruimte
, geschreven als lineaire combinatie van een orthonormale basis
van
:
en ![{\displaystyle \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}y_{i}\mathbf {e} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89489906b230c8b86fcc3f8ad6b952103e246eb5)
is gelijk aan:
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {e} _{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ee73901e349188302abcff2093702eb64e87aa)