De laplace-operator, ook wel laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool ∆. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de laplace-vergelijking. In de kwantummechanica stelt de laplace-operator de kinetische energie voor in de schrödingervergelijking. De functies waarvoor de laplaciaan gelijk is aan nul, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.
Voor een scalaire functie
op een
-dimensionale euclidische ruimte is de laplace-operator gedefinieerd door:
![{\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902a722cfe9a8cd96929e072944e76ecac365e5e)
Hierin staat
voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele
.
Als operator schrijft men daarom wel:
.
Alternatief kan men schrijven:
![{\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeb55842d7813606dfaaa51f1fa5922c3ed85cd)
Ook kan de laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (∇):
![{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6548e3f6ce7ec0d63b217c54add3c02e4cbedde7)
Laplaciaan in drie dimensies
In cartesische coördinaten,
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e747abb61076ac1b23e3987dcea50a036c49f1)
In cilindercoördinaten:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8b0755461b804a72b86a4cb0e7c200ea2e3dfa)
In bolcoördinaten:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4df375af88e5634bedafcf2cbe1c99ce4472062)
Voorbeeld
Zij
de functie gedefinieerd door
![{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+yz^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469d4ede219ef449ce65f6157eeacf03aee2b4bc)
Dan geldt:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=2+0+2y=2+2y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ca7bf5d625b53a97509c01883418449781b9bc)
Laplace-operator voor een vectorveld
Voor een vectorveld
is de laplace-operator gedefinieerd als:
![{\displaystyle \Delta A=\nabla (\nabla \cdot A)-\nabla \times (\nabla \times A)=\operatorname {grad} (\operatorname {div} A)-\operatorname {rot} (\operatorname {rot} A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8d81d912ea34dda7a043d8527ffa1ffb373a8a)
In gewone cartesische coördinaten is het het vectorveld met als componenten de laplaciaan van de componenten van
dus:
![{\displaystyle \Delta A=\Delta {\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Delta A_{x}\\\Delta A_{y}\\\Delta A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3991390bdca4876df67a2f480f1479298a97f929)
Unicode
De laplace-operator is opgenomen in Unicode als U+2206.