Half-continuïteit
Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Iedere continue functie is ook half-continu, maar het omgekeerde geldt niet. Een half-continue functie hoeft aan minder voorwaarden te voldoen dan een continue functie.
Een functie waarvoor het van belang is dat die half-continu is, is een functie met punten waarin de functiewaarde verspringt. Dat is hetzelfde als bij functies die linkscontinu of rechtscontinu zijn, maar de definitie is iets anders.
Definitie
De dichte stippen horen tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.
Laat een open interval zijn en .
De functie heet continu als voor iedere en iedere er een is zodanig dat voor met , geldt dat .
De functie heet half-continu van beneden als voor iedere en iedere er een is zodanig dat voor met , geldt dat .
De functie heet half-continu van boven als voor iedere en iedere er een is zodanig dat voor met , geldt dat .
Topologie
Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van boven in , als er voor elke er een open verzameling bestaat die omvat zodanig dat voor elke . Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn domein.
Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:
Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van boven, als open is voor elke .
Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van beneden in , als er voor elke er een open verzameling bestaat die omvat zodanig dat voor elke . Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.
Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:
Als een topologische ruimte is, dan is half-continu van beneden, als open is voor elke .
Voorbeelden
Als , dan is de indicatorfunctie dan en slechts dan half-continu van boven als gesloten is en half-continu van beneden als open is.
In het bijzonder is half-continu van boven voor elk element . Deze functie is noch rechts-, noch linkscontinu in .
Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de entierfunctie .
Eigenschappen
- Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
- Als en half-continu zijn van beneden en , dan zijn en half-continu van beneden.
Als bovendien , dan is ook half-continu van beneden.
- De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
- Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
- Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
- De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen
als een verzameling van van beneden half-continue functies is, en en zijn elementen van , dan is half-continu van beneden evenals
Dezelfde eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.
Literatuur
- AC v Rooij en WH Schikhof. A Second Course on Real Functions, 1982. ISBN 0521283612