連接環
連接環(れんせつかん、英: coherent ring、仏: anneau cohérent)の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす(一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい)。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。
連接環
定義
これは の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 は が有限型であれば有限型 (type fini) であり、 と が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる[1]。
- -加群 は有限型でありかつ のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。
- 環 は有限型の のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である[2]。
- 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない[3]。
性質
を環とする。
- を左 -加群とする。以下の条件は同値である[4]:
- は左連接である。
- は有限型でありすべての整数 に対して左 -加群のすべての準同型 の核は有限型である。
- は有限型でありすべての有限型左 -加群 に対してすべての準同型 に対して は有限型である。
- さらに、以下の条件は同値である[2], [5]:
- は左連接である。
- 有限型左自由 -加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
- すべての有限表示左 -加群は連接である。
- すべての整数 に対して左 -加群のすべての準同型 の核は有限型である。
- 左ネーター環は左連接である。
連接シルヴェスター環
- をオール環(フランス語版)とする。この環が右連接シルヴェスター環(フランス語版)であるのは、 に元を持つすべての有限縦ベクトル(あるいは行列)の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る[6]。
- 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。
- 可換シルヴェスター環 が連接であるのは がGCD環であるとき、かつそのときに限る[7]。
- を複素平面の単連結開集合とする。 内の有界解析関数のハーディ環 はベズー環でない連接シルヴェスター環である[8]。
グロタンディーク圏における一般化
グロタンディーク圏
次のようなアーベル圏 をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 を持ち、次の条件 AB5) を満たす[9]: が の対象であり が の部分対象でありそして が の部分対象の増大フィルター族であれば、
例
- 環 上の左加群の圏 は生成元として加群 を持つグロタンディーク圏である。
- を位相空間、 を 上の環の層、 を 上の左 -加群の層(フランス語版)の圏とする。この圏 はグロタンディーク圏である[10]。 における生成元の族は faisceaux induits からなる、ただし は の開集合全部の集合を表記する[11]。
連接対象
- をグロタンディーク圏とする。 の対象 は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。 なる の増大フィルターのすべての族 に対して、 となる添え字 が存在する。 の対象 は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 、ただし は有限型、に対して は有限型である[12]。
- を生成元として対象 を持つグロタンディーク圏とし
を における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 が有限型であるのは、完全列
ただし は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 、ただし は有限、に対して完全列
ただし は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。
すべての連接対象からなる の充満部分圏は、 と表記されるが、アーベルであり、入射 は完全である[13]。
例
- 圏 において有限型(resp. 連接)対象全体は有限型(resp. 連接)加群全体である。
- 圏 において、有限型(resp. 連接)対象全体は有限型(resp. 連接)-加群全体である。
環の連接層
- 環 の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 と左 -加群のすべての準同型写像 に対して、この準同型の核は有限型である[14]。
- すると以下の結果が成り立つ[15]: を左連接環の層とする。左 -加群の層 が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 -加群の準同型 の余核に同型である、すなわち、 のすべての空でない開集合 に対して完全列
- が存在する。
脚注と参考文献
脚注
- ^ (Bourbaki 2007)
- ^ a b (Cohn 1985), p. 554
- ^ (Bourbaki 2006), §I.2, exercice 12(f)
- ^ (Bourlès & Marinescu 2011), Lem. 508
- ^ 他の同値条件は (Bourbaki 2006), §I.2, exercice 12 を参照せよ
- ^ (Dicks & Sontag 1978), Thm. 10
- ^ (Dicks 1983), Lem. 4.1
- ^ (Quadrat 2003), Cor. 3.31
- ^ (Grothendieck 1957), §1.5
- ^ (Grothendieck 1957), Prop. 3.1.1
- ^ (Grothendieck & Dieudonné 1960), (3.1.5)
- ^ (Roos 1969), Sect. 2, Def. 1
- ^ (Oberst 1970), Chap. I
- ^ (Grothendieck & Dieudonné 1960), §5
- ^ (Serre 1955), §2, Prop.7
参考文献
- N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique, Springer, , 216 p. (ISBN 3540344926)
- N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 1 à 4, Springer, , 364 p. (ISBN 354033937X)
- (en) Henri Bourlès および Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer, , 638 p. (ISBN 978-3-64219726-0, lire en ligne)
- (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Academic Press, , 595 p. (ISBN 0121791521)
- (en) Warren Dicks, « Free algebras over Bézout domains are Sylvester domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 27, , p. 15-28
- (en) Warren Dicks および Eduardo D. Sontag, « Sylvester Domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 13, , p. 243-275 (lire en ligne)
- Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique I », Tohoku Mathematical Journal, vol. 9, , p. 119-184 (lire en ligne)
- Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique II », Tohoku Mathematical Journal, vol. 9, , p. 185-221 (lire en ligne)
- Alexander Grothendieck および Jean Dieudonné, « Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas », Publications Mathématiques de l'IHÉS, , p. 5-228 (lire en ligne)
- (en) John C. McConnell および James C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, , 636 p. (ISBN 0821821695, lire en ligne)
- (en) Ulrich Oberst, « Duality Theory for Grothendieck Categories and Linearly Compact Rings », Journal of Algebra, vol. 15, no 4, , p. 473-542 (lire en ligne)
- (en) Alban Quadrat, « The fractional representation approach to synthesis problems: an algebraic analysis viewpoint. Part I: (weakly) doubly coprime factorizations », SIAM J. Control Optim., vol. 42, no 1, , p. 266-299
- (en) Jan-Erik Roos, « Locally noetherian categories and generalized strictly linear compact rings. Applications », Category Theory, Homology Theory and their applications II, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Vol. 92, , p. 197-277 (lire en ligne)
- Jean-Pierre Serre, « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics, vol. 61, no 2, , p. 197-278 (lire en ligne)