連接環

連接環（れんせつかん、英: coherent ring、仏: anneau cohérent）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

• ${\displaystyle R}$ を環とし ${\displaystyle M}$ を ${\displaystyle R}$-加群とする。次が完全列になるような自由加群 ${\displaystyle L_{1}}$ と ${\displaystyle L_{0}}$ が存在する

${\displaystyle L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

これは ${\displaystyle M}$ の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 ${\displaystyle M}$ は ${\displaystyle L_{0}}$ が有限型であれば有限型 (type fini) であり、${\displaystyle L_{0}}$ と ${\displaystyle L_{1}}$ が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる^[1]。

• ${\displaystyle R}$-加群 ${\displaystyle M}$ は有限型でありかつ ${\displaystyle M}$ のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

• 環 ${\displaystyle R}$ は有限型の ${\displaystyle R}$ のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である^[2]。

• 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない^[3]。

${\displaystyle R}$ を環とする。

• ${\displaystyle M}$ を左 ${\displaystyle R}$-加群とする。以下の条件は同値である^[4]：

1. ${\displaystyle M}$ は左連接である。
2. ${\displaystyle M}$ は有限型でありすべての整数 ${\displaystyle n\geq 0}$ に対して左 ${\displaystyle R}$-加群のすべての準同型 ${\displaystyle R^{n}\longrightarrow M}$ の核は有限型である。
3. ${\displaystyle M}$ は有限型でありすべての有限型左 ${\displaystyle R}$-加群 ${\displaystyle N}$ に対してすべての準同型 ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ に対して ${\displaystyle \ker(f)}$ は有限型である。

• さらに、以下の条件は同値である^[2], [5]：

1. ${\displaystyle R}$ は左連接である。
2. 有限型左自由 ${\displaystyle R}$-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
3. すべての有限表示左 ${\displaystyle R}$-加群は連接である。
4. すべての整数 ${\displaystyle n}$ に対して左 ${\displaystyle R}$-加群のすべての準同型 ${\displaystyle R^{n}\longrightarrow R}$ の核は有限型である。

• 左ネーター環は左連接である。

• ${\displaystyle R}$ をオール環（フランス語版）とする。この環が右連接シルヴェスター環（フランス語版）であるのは、${\displaystyle R}$ に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る^[6]。

• 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

• 可換シルヴェスター環 ${\displaystyle R}$ が連接であるのは ${\displaystyle R}$ がGCD環であるとき、かつそのときに限る^[7]。

• ${\displaystyle D}$ を複素平面の単連結開集合とする。${\displaystyle D}$ 内の有界解析関数のハーディ環 ${\displaystyle H^{\infty }\left(D\right)}$ はベズー環でない連接シルヴェスター環である^[8]。

次のようなアーベル圏 ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 ${\displaystyle \left(G_{i}\right)_{i\in I}}$ を持ち、次の条件 AB5) を満たす^[9]： ${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象であり ${\displaystyle A'}$ が ${\displaystyle A}$ の部分対象でありそして ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ が ${\displaystyle A}$ の部分対象の増大フィルター族であれば、

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}\left(A^{\prime }\cap A_{i}\right)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}\right).}$

• 環 ${\displaystyle R}$ 上の左加群の圏 ${\displaystyle _{R}Mod}$ は生成元として加群 ${\displaystyle _{R}R}$ を持つグロタンディーク圏である。

• ${\displaystyle X}$ を位相空間、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ を ${\displaystyle X}$ 上の環の層、${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ を ${\displaystyle X}$ 上の左 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群の層（フランス語版）の圏とする。この圏 ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ はグロタンディーク圏である^[10]。${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ における生成元の族は faisceaux induits ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$ からなる、ただし ${\displaystyle U}$ は ${\displaystyle X}$ の開集合全部の集合を表記する^[11]。

• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ をグロタンディーク圏とする。${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象 ${\displaystyle A}$ は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。${\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A}$ なる ${\displaystyle A}$ の増大フィルターのすべての族 ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ に対して、${\displaystyle A_{i}=A}$ となる添え字 ${\displaystyle j}$ が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象 ${\displaystyle A}$ は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 ${\displaystyle f:B\rightarrow A}$、ただし ${\displaystyle B}$ は有限型、に対して ${\displaystyle \ker(f)}$ は有限型である^[12]。

• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ を生成元として対象 ${\displaystyle G}$ を持つグロタンディーク圏とし

${\displaystyle 0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0}$

を ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 ${\displaystyle A}$ が有限型であるのは、完全列

${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

ただし ${\displaystyle J\subset I}$ は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、${\displaystyle A}$ が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 ${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A}$、ただし ${\displaystyle J\subset I}$ は有限、に対して完全列

${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

ただし ${\displaystyle K\subset I}$ は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の充満部分圏は、${\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}}$ と表記されるが、アーベルであり、入射 ${\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}}$ は完全である^[13]。

• 圏 ${\displaystyle _{R}Mod}$ において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

• 圏 ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群全体である。

• 環 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 ${\displaystyle U\subset X}$ と左 ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$-加群のすべての準同型写像 ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$ に対して、この準同型の核は有限型である^[14]。

• すると以下の結果が成り立つ^[15]： ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ を左連接環の層とする。左 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群の層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群の準同型 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}}$ の余核に同型である、すなわち、${\displaystyle X}$ のすべての空でない開集合 ${\displaystyle U}$ に対して完全列

${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0}$

が存在する。

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• (en) Henri Bourlès および Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer,‎ 2011, 638 p. (ISBN 978-3-64219726-0, lire en ligne)
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