双心四角形

双心四角形（そうしんしかっけい、英: Bicentric Quadrilateral, chord-tangent, quadrilateralinscribed and circumscribed quadrilateral^[1]）とは外接円と内接円の両方をもつ四角形のことである。双心多角形の一種。

ポンスレの閉形定理より、ある二円についての双心四角形が一つ見つかれば、そのような四角形は無数に存在する^[2]。

双心四角形の一つに正方形、直角凧形、円に外接する等脚台形などがある。

4辺が a, b, c, d である双心四角形ABCDの面積は次の公式で表される。

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$

より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、${\displaystyle t={\frac {A+C}{2}}}$ とおくと次で与えられる。

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin t}$

双心四角形に対する公式は、t = 90° という特殊な場合である。

双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

ただし ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$（半周長）

内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので

a + c = b + d = s

したがって

s − a = c

s − c = a

s − b = d

s − d = b

ゆえに

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$

（証終）

外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式を用いて同様に示せる。

またA,B,C,Dに対する接線長をe,f,g,h、内心をI、対角線の成す角をθなどとすれば次のように書ける^[3][4][5]。

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

${\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}$

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

ただし、r,Rはそれぞれ内半径と外半径。

面積の関係する不等式には以下の様なものがある^[6]。

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$　等号成立は正方形。

${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$　等号成立は正方形

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$　等号成立条件は凧形。

角の三角関数について、以下の式が成り立つ^[4][7][8]。記号は前項と同。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、 ${\displaystyle {\frac {1}{(R-d)^{2}}}+{\frac {1}{(R+d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

または

${\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}}$

が成り立つ^[1][9][10]。定理名はニコラス・ファス（英語版）に由来する。

とくにdについて整理すれば

${\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

を得る。これはオイラーの定理の拡張である。また、この式を満たすd,r,Rが存在すれば四角形についてポンスレの閉形定理が成立する。

Leonard Carlitz (Leonard Carlitz) によれば、次の式が成り立つ^[11]。

${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

ただし

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

A,B,C,Dの接線長をe,f,g,hとすると以下の不等式が成立する^[12]。

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

同様に辺a,b,c,dでも以下の不等式が成立する^[12]。

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

双心四角形の内心、外心、対角線の交点は共線である^[13]。

内接円の半径と、内心と各頂点の距離について${\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$が成り立つ^[14]。

また、対角線の交点をPと置けば、

${\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.}$ である^[15]。

双心三角形ABCDの外心Oで分割された4つの三角形△OAB, △OBC, △OCD, △ODAの内心は共円である^[16]。

• ブラーマグプタの公式
• ポンスレの閉形定理

• Weisstein, Eric W. "Bicentric Quadrilateral". mathworld.wolfram.com (英語).